如何理解大衍之数五十，其用四九?

《周易.系辞上传》：
“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三， 揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰，五岁再闰，故再扐而后挂。 天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五。此所以成变化而行鬼神也。”
按照这个说法应该大衍之数是五十五啊，为何是五十?而且其用四九又是怎么回事?

大衍之数为何是50？  其用为何是49？
古往今来，很多人作出过解释，但我觉得，他们的解释都很牵强。


[h2]以我的理解，大衍之数最正确的解释，应该是：[/h2]一生二，二生三，三生万物。
太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。
太极为①，两仪为①②，四象为①②③④，八卦为①②③④⑤⑥⑦⑧。
1+（1+2）+（1+2+3+4）+（1+2+3+4+5+6+7+8）
= 1+3+10+36   =50
太极之“一”为 “体”，然后“其用”便是 49 了。




首先，大家知不知道，何为“大衍”？
“大”：   壮大，发展，扩张，成长，延伸出去  .......  的意思！
“衍”：   雨水落到地面后，最终都是归于大海。衍，就是水行走的路径。江河溪流最终会归一为大海，就是“衍”字的含义。
所以，“大衍之数”的意思就是：  将归一的“太极”，重新再，反推出原来的“八卦”，整个过程中，所有的数字加起来的总和。




[h2]推演过程，我这里用文字，来大概描述一下：[/h2]首先，拿一张围棋的棋纸，在中间放“一”颗子。
第一步、横向，分裂出“两”颗子。     （每颗字都要落在十字上，而且只能走一步）
第二步、两颗子纵向，分裂出“四”颗子。
第三步、四颗子横向，只能分裂出“六”颗子。
第四步、六颗子纵向，只能分裂出“九”颗子。
第五步、九颗子横向，只能分裂出“十二”颗子。
第六步、十二颗子纵向，只能分裂出“十六”颗子。



最后，一加二，加四，加六，加九，加十二，加十六，  ..........   等于“五十”。
最开始的“一”子，为本体，其余的“四十九”子，为其所用。


为什么是六步呢？因为，【周易】里，只有六爻呀，呵呵~！........... 懂了么？






另外，我还有一个，好像份子结构的立体模型，也是一分为二的方式，去推演的 。  结果，只能走六步，就有“分裂的点最后归于原点”的情况出现了，也就是说，推演只能推六次。最后，数一下总共的点数，也是刚好50个 。  除去原点，就是49个分裂出来的点。


那些涂成黑色的，就是推演的点 !


2019.4.11

首先要感谢@Diao头与阿翔、@泰而阳 两位，纠正了在下数学方面的错误。以下为更正的版本：
题主引用的有点乱，很难根据这个讲清楚。我们先来看“大衍之数”这一段话。

大衍之數五十，其用四十有九。分而爲二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏。五歲再閏，故再扐而後卦……乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也。是故四營而成易，十有八變而成卦，八卦而小成，引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣！             《周易·繫辭上傳》

这一段中，省略号所代表内容的解读历来存在争议，我们姑且先不谈。省略号前讲的主要是上古时期用蓍草算卦的程序，下面我们来分段探讨一下。


“大衍之數五十，其用四十有九。”
“衍”就是“演”，推演的意思。用以推演占卦的数便是“大衍之數”，总共为50，使用的数是49。在占卦时，蓍草要准备50根，然后拿出一根不用，用剩下的49根推算。


“分而爲二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏。”
“分而爲二以象兩”的意思是将49根蓍草随机分为两份，这二分就是象征阴阳两仪的二分。“掛一以象三”是指从任一份里取出一根蓍草，与剩下的两份构成三分之势，以此来象征“天地人”三才。“揲之以四以象四時”，“揲”就是用手清点，这句是说接下来就要以4为单位来清点这两份蓍草了(根数总和为48)。为什么以4为单位呢？是要象征一年的四季。“歸奇於扐以象閏”中的“奇”是余数，“扐”是手指之间。把两份蓍草清点完，两边一定都有剩余的部分，即使是余下4根也算余数。古人把两边清点余下的蓍草就夹于指间，用以象征闰月。
这句话一共有四步，每一小句是一个步骤，古人称为“四營”。 后面说了，“四營而成易，十有八變而成卦”，也就是“分二”、“掛一”、“揲四”和“歸奇”这“四營”加起来算是成了一变，“易”就是变。那么要变几次才能成一个“卦”呢？“十有八變而成卦”，变上十八回才能得到我们的卦。这样以来，18除6得3，也就是说3变得到一个爻。这个信息在原文里省去了，古人没说变几回才能得到一个爻，但是我们后人不要死板，仔细一推算就能悟出了。这样以来，蓍草占卜的程序已经清楚了，即四营成一变，三变成一爻，六爻十八变成一卦。


“五歲再閏，故再扐而後卦。”
是说五年有两个闰月，所以将两份的归奇余数（以4分组后剩下的余数）都合并，然后再进行下一变的四营程序。“再扐”指合并两份的归奇余数。
那么具体怎样去确定每一个爻呢? 这其中就有数学道理了。让我们先来模拟一下古人占卜的过程，进而推算其可能出现多少种结果。
首先说明一下程序分步，分二、挂一、揲四、归奇为四营，四营成一变，三变成一爻，十八变成一卦。
【第一变】
挂一后的两份总数为： 49－1=48（根）
48÷4无余数，则表明揲四后归奇的蓍草总数是4或8根，即两种情况：
①    一边根数分别为1、2、3，另一边对应分别为3、2、1；
②    一边根数为4，另一边也是4。
除去归奇蓍草后还有48－4=44根（① 的3种结果）或48－8=40根（② 的1种结果）
于是，变之二会有两种情况。
【第二变】
情况1（变之一剩下44根）：
   挂一后的两份总数为： 44－1=43（根）
   43÷4余数为3，则表明揲四后归奇的蓍草总数是3或7根，即两种情况：
①    一边根数分别为1、2，另一边对应分别为2、1；
②    一边根数分别为3、4，另一边对应分别为4、3。
   除去归奇蓍草后还有43－3=40根（① 的2种结果）或43－7=36根（② 的2种结果）
情况2（变之一剩下40根）：
挂一后的两份总数为： 40－1=39（根）
39÷4余数为3，则表明揲四后归奇的蓍草总数是3或7根，即两种情况：
①    一边根数分别为1、2，另一边对应分别为2、1；
②    一边根数分别为3、4，另一边对应分别为4、3。
除去归奇蓍草后还有39－3=36根（① 的2种结果）或39－7=32根（② 的2种结果）
综上所述，变之二最终剩下的蓍草数为40、36或32根。于是，变之三会有三种情况。
【第三变】
情况1（变之二剩下40根）：
   挂一后的两份总数为： 40－1=39（根）
   39÷4余数为3，则表明揲四后归奇的蓍草总数是3或7根，即两种情况：
①    一边根数分别为1、2，另一边对应分别为2、1；
②    一边根数分别为3、4，另一边对应分别为4、3。
   除去归奇蓍草后还有39－3=36根（① 的2种结果）或39－7=32根（② 的2种结果）
情况2（变之二剩下36根）：
挂一后的两份总数为： 36－1=35（根）
35÷4余数为3，则表明揲四后归奇的蓍草总数是3或7根，即两种情况：
①    一边根数分别为1、2，另一边对应分别为2、1；
②    一边根数分别为3、4，另一边对应分别为4、3。
除去归奇蓍草后还有35-3=32根（① 的2种结果）或35－7=28根（② 的2种结果）
情况3（变之二剩下32根）：
挂一后的两份总数为： 32－1=31（根）
31÷4余数为3，则表明揲四后归奇的蓍草总数是3或7根，即两种情况：
①    一边根数分别为1、2，另一边对应分别为2、1；
②   一边根数分别为3、4，另一边对应分别为4、3。
除去归奇蓍草后还有31－3=28根（① 的2种结果）或31－7=24根（② 的2种结果）


     综上所述，变之三最终剩下的蓍草数为36、32、28或24根（如图所示）。三变共计有64种结果，其中得36的结果有12种，得32的结果有28种，得28的结果有20种，得24的结果有4种。



将这4个结果分别除以4，所得的商分别是9、8、7、6。9为老阳（概率为3/16），6为老阴（概率为1/16），7为少阳（概率为5/16），8为少阴（概率为7/16）。三次变就可以确定一个阴阳爻了，18变就可以确定一个卦了。用9、6确定的爻是老阴之爻或老阳之爻，二者状态不稳定，会逢极而变，这两类爻是“变爻”。将一个卦中的老阳、老阴爻变一下，就会得到变卦了，古人也管变卦叫“之卦”。比如，我十八变后占得天雷无妄，这是本卦，若初爻为老阴，那么变卦就是天地否了。具体怎么解读所得的卦，其实有许多种方法，也是一件见仁见智的事。我德行不够，不敢妄下结论。姑且搬运一种网上的参考方法，以供大家体会吧。


解卦的方法（来源网络，仅供参考）：
0 个变爻：以本卦的卦辞、卦义来解卦。
1 个变爻：以本卦变爻来解卦。如上例，天风姤变天地否，以姤卦的初六爻辞来解卦。
2 个变爻：以本卦的两个变爻来解卦。下爻为贞（定、正），上爻为悔（动、改过）。
3 个变爻：以本卦卦辞和变卦卦辞来解卦。本卦为贞，变卦为悔。
4 个变爻：以变卦的两个不变爻来解卦。上爻为贞，下爻为悔。
5 个变爻：以变卦的不变之爻来解卦。
6 个变爻：乾卦以「用九」爻辞，坤卦以「用六」爻辞。其余62卦以变卦卦辞卦义解。


“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也。”
这句话也顺便翻译一下，三变下来，表示老阴之爻的策数是24，表示老阳之爻的策数是36（“策数”就是蓍草的根数）。那么，一卦有6爻，36×6=216，24×6=144 。所以说“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四”。加起来，216+144=360，正好接近一年365天（當期之日，“期”就是一年）。“二篇之策”指《易经》64卦里阴卦32，阳卦32，分别乘以乾坤策数的结果：32×216+32×144=11520，这就是万物之数了（“二篇”就是《易经》的上下两经，此处代指《易经》）。具体为什么这样来说，我其实也是不知道的，历代经师大儒关于这句的解读更是众说纷纭，莫衷一是。


最近发现蓍草占卜的概率分布图与邵康节的伏羲六十四卦次序图很像。只是概率图只符合太极、四象、十六卦、六十四卦。而八卦与两仪却没有体现出来。邵康節在《觀物外篇·中之上》中说：

“太極既分，兩儀立矣。陽下交於陰，陰上交於陽，四象生矣。陽交於陰，陰交於陽而生天之四象；剛交於柔，柔交於剛而生地之四象，於是八卦成矣。八卦相錯，然後萬物生焉。是故一分為二，二分為四，四分為八，八分為十六，十六分為三十二，三十二分為六十四。故曰：分陰分陽，迭用剛柔，故易六位而成章也。”

可能他的先天学思想就是根据大衍之数推断出来的，这也未可知。

伏羲六十四卦次序图
概率图

这个问题最近在我研究汉代一本号称是解释《易经》的书时，得到了很好的解释，我觉得真的好有道理。这本书就是郑玄的《易纬》，在《易纬乾凿度》度中解释：
天干为十，地支为十二，二十八宿分野，合为五十。
天干为十，天干其实就是太阳，人们最早把一天分为十个时辰，一年也是十月（可以参看我的文章天干地支的产生），而十二地支是月，月亮一年朔望十二次，二八星宿类似于西方的黄道十二宫，其实就代表着天盘。所以这五十数其实就代表着天地日月星辰。二十八星宿好比棋盘，干支好比棋子，有了棋盘有了棋子，自然可以推演天地万物，因此可以称为大衍，这同周易得思想其实也是契合的。
另外唐朝僧一行制作《大衍历》，很多人不明白为什么称这个名字，其实如果说大衍是指日月星辰的天体星象，那么作为考五星定历律而成的历法，用这个名字太恰当了。

楼上说都挺有道理的，补充另外2个角度：
从卦象看：
64卦是易学的基础中的基础，不妨看看第50卦，和49卦分别代表的是什么？
49卦-革卦：渴望变动，革新上进，占卜来寻求方向
50卦-鼎卦：权威的象征，希望得天之鼎力相助

一般占卜的人，都是遇到事情想要知道发展趋势如何。所以带着这种渴望改变的心情来寻求天的指引。64卦中的革卦49和鼎卦50就把它映射出来了。


从数理看：
揲四（蓍草以4根为一组分堆的过程）在大衍之数中重复的遍数我们就可以看出，大衍之数对于四象的深入贯彻。而古人是通过观太阳的影子变化而得到了最初的四象，也就是四季。

50正好是古人在“立竿见影，以正农时“中所发现的勾股玄的平方和：
3+4 +5=50


体的稳固才有万事的发展。
太极 - 体
两仪/阴阳，四象，八卦…… - 用


所以在开始之前，需要把体拿出来。在大衍之数里，代表这个体的数字就是5这个生数。生稳了，才能成。
阳：1+3+5+7+9=25
阴：2+4+6+8+10=30
天数：25+30=55
大衍之数：减去一个生数5，55-5=50；


所有易学的占卜方法都是在占阴阳的变化，所以50你拿来分，会出现双奇数，双偶数的情况。所以拿出一根剩下49，你就能分出阴阳了。这就是第一步太极生两仪的过程。

清朝易学家纳兰容若有一篇《易九六爻 大衍数辩》可以读下，文章之中推测是脱落一字五，因为正数一到五，始于一而终于五，而天道运转每每隐去始终，而周易的占卜也要减去一和五。