线性代数中的线性相关或无关到底是什么意思？秩又是什么东西？秩相同意味着什么？

线性相关、秩、特征向量、特征值这些名称在几何中、实际的事例或者实际生活中有什么意义?
还有为什么要叫线性代数?“线性”有什么具体含义吗？
不要用抽象的概念解释，教科书上的概念够多了，希望能讲一些具象的易于想象的甚至是感性的解释

有关回应 · 2021-5-14 17:52:45

顺着@KIRA答主的回答发一下脑洞

线性相关就是：

线性无关就是：

有关回应 · 2021-5-14 17:52:46

我建议题主看一下北京大学丘维声教授讲授的《高等代数》视频，里面对很多概念说的很通俗易懂。其中一个很有意思，比如你在一个公司里任职，如果你的工作能被其他人所替代，那么替代你的人和你的关系就是线性相关的，反过来，如果你的工作无人可以替代，那你们这一些不可替代的人就是线性无关的。那么秩的概念也就是你们这一组无可替代的人的人数。我们在工作岗位都是喜欢寻找那些不可替代的精英，在数学上也是一样的。而精英可以不断变动，但是完成一件工作需要的精英人数是固定的，这也就是秩的意义。

有关回应 · 2021-5-14 17:52:47

1，线性无关和线性相关其实非常直观，举个例子：红R，绿G，蓝B是色彩的三原色，这三种颜色可以混合出其他所有颜色。假设这三个值都可以取0-255之间的整数值。比如纯红（255，0，0），纯绿（0，255，0），纯蓝（0，0，255），紫色（255，0，255），全白（255，255，255），全黑（0，0，0），等等。
现在三种颜色e1=（1，0，0），e2=（0，1，0），e3=（0，0，1）可以组合成其他任何颜色，比如某一颜色a=（24，0，127）=24*e1+0*e2+127*e3（可由这三种颜色线性表出），所以a和e1,e2,e3是线性相关的。但是e1,e2与e3这三个之间不能由其余两个线性表出（比如e2与e3组合出来的第一个分量永远是0，不能变为1），所以e1,e2,e3是线性无关的。
2，顺便提一下基底basis的概念：（1）基底向量线性无关，（2）基底向量可以生成整个向量空间。
举例来说整个向量空间为上述的所有颜色值集合。我要研究这个颜色空间，不会把所有颜色值列出来，而是选择最【基础】的那几个比如e1,e2,e3，因为其他所有的颜色都可以由这三个颜色合成出来（即basis定义的第二个要求，基底向量个数不能【太少】，太少了就生成不了整个颜色空间）。另外不会把e1,e2,e3,a都选为基底向量，因为a是多余的，e1,e2,e3就可以摆平了，不需要你（即basis定义的第一个要求，基底向量线性无关，基底向量不能【太多】，太多了就人浮于事）
------是的，基底向量就是这么作，不能太多，也不能太少！
更新---------------------------------------------------------
3，没仔细看题，没回答全，补充一下秩的形象理解之一：
大家在中学有没有过这样的经历，让你解一个N元一次方程组，比如：
x + 3y + 4z = 2;
2x + y + z = 1;
一般来说两个方程三个未知数，有无穷多个解，但曾经天才的我，就把这两个方程相加，得到第三个方程：3x + 4y + 5z = 3，这下不是有三个方程三个未知数了吗，可以开心的开始解了，结果当然是打脸了。如果理解了秩和线性相关的概念，就知道为啥了。因为人造的那个方程的系数（3，4，5）是前两个系数（1，3，4）与（2，1，1）的线性组合，也就是增加前后系数矩阵的秩都是2【秩的定义就是最大线性无关行（列）的个数】，有效的约束是2，最后增加的那个方程是来摸！鱼！的！

有关回应 · 2021-5-14 17:52:48

谢邀。
线性相关／无关是个很直观的概念。三点共线就是线性相关，三线共点也是线性相关。线性相关就是向量之间存在某种相互限制关系，使得他们张成的空间不能达到最大维数。线性无关就是一种“自由状态”，所有的向量都处于“一般位置”，有多少个向量，就张成多少维的空间。线性代数里面，对线性变换f:V \to W而言，像空间的维数（秩）＝V的维数－零度（核空间的维数），就是说，理想的自由状态下的维数(V的维数，在解线性方程的时候就是变量的个数)，减去约束条件的个数（也就是秩，在解线性方程的时候就是线性无关的方程组的数量），就等于核空间的维数（也就是加上约束条件后的向量组的维数）。有一个以上约束条件，你写出来的V里面那组向量就是线性相关的；没有任何约束条件，就是线性无关的。很朴素的道理。

（写完觉得核空间和像空间的关系好像写反了。。不过anyway他们本来也是在某种意义上对偶的。。）

有关回应 · 2021-5-14 17:52:49

以线性代数中的向量组形式来解释。
一个m×n的矩阵，可以看做n个m维列向量组成。
若这一组n个向量中，有多余向量，即某一个或几个向量，可以由其他向量表示出来，即可说，这一组向量线性相关。
如(1,1) (1,0) (0,1)三个向量，
显然(1,1)＝(1,0)＋(0,1)，立即得，三个向量线性相关（即有多余向量）。
若这一组n个向量中，没有多余向量，即任选一个向量，都不能由其他向量表示出来，即可说，这一组向量线性无关。
如a(1,3,0,0), b(0,8,4,0), c(7,0,0,3)三个向量，无论如何尝试都不能写出a＝xb＋yc（x,y为任意实数）的形式，立即得，三个向量线性无关（即没有多余向量，所有向量全独立）。
一个m×n矩阵，即n个m维列向量组成的矩阵，如何表达其独立向量的个数呢？因为其他多余向量，可以由这些独立向量表示出来，所以这个数很重要。
这个数就是秩。
秩，表示一组n个m维向量中，独立向量的个数。
如(1,1) (1,0) (0,1)三个向量，你可以在这三个向量中任选两个，第三个向量必然可以由前两个表示出来，所以独立向量最多为2，所以秩等于2。

如a(1,3,0,0), b(0,8,4,0), c(7,0,0,3)三个向量，刚刚已经说过，三个向量，线性无关，即，所有向量全是独立向量，立即推，秩等于3。

至于最后一个，同型矩阵秩相同可以推得，两矩阵等价，但是在向量组中，似乎没什么用。
评论答疑补:一个向量组是否线性相关，确实跟数域的选择有关。比如我们在学习线性无关的时候，我们经常用的一个式子，x1a1+x2a2=0,若a1,a2线性无关，则当且仅当x1=x2=0，这是很常用的。那我们不妨设想一种情况，x1,x2是属于实数域，a1=1,a2=i(根号-1),我们发现显然要式等式成立，当且仅当x1=x2=0，即在实数域内，"1"和“i”是线性无关的。但若x1,x2属于复数域，我们惊奇的发现x1,x2可以取很多值，如x1=-i,x2=1，显然不是当且仅当x1=x2=0，也就是说在复数域内，"1"和“i”是线性相关的。也就是说，数域的选择，会影响的到矩阵的相关性，高深的说法就是，数域的选择，会影响线性空间的维数。

线性代数中的线性相关或无关到底是什么意思？秩又是什么东西？秩相同意味着什么？

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