如何直观地理解群论？

大部分同学在学习代数学时，都会被一大堆的概念搞得晕头转向。
几年前，我刚开始看线性代数时也是这样，完全不明白为什么要定义这些奇怪的东西。直到后来看到《如何直观理解矩阵和线性代数？》、《理解矩阵（一）》等文章，才豁然开朗。我非常认同《理解矩阵（一）》文中强调数学直观性的观点。
那么，应该如何直观地理解群论？群论中一些主要的概念究竟是为什么、怎么样引入的？

【参考问答】

有关回应 · 2021-5-25 14:37:48

群论是描述对称的数学理论。
我们日常所说的对称，大多是针对几何图形：正方形、正三角形、圆、立方体、球等等。如果要数一数有多少个对称，也不难做到：长方形有两个（左右对称，上下对称），正方形有四个（多了两条对角线），圆有无数个（相对于每条直径）。立方体怎么数呢？
且慢，先把长方形正方形想明白。我们数的对称都是“折叠对称”，或称之为“反射对称” (reflection symmetry)。稍微推广一下，一个几何图形
（或其他数学对象）上的对称是
的(可逆)变换使得它（某种意义上）不变。
上所有的对称就构成一个对称群(group of symmetries)。
对于长方形，对称可以是左右翻转，上下翻转，也可以转180度，更重要的是对称还可以是“什么都不做”！一定不要被中文“对称”（或英文symmetry）迷惑而只看到对折类的对称。这种广义的对称有什么好处呢？最大的好处是我们可以把两个对称结合起来而得到第三个对称：先左右翻转，再上下翻转，结果等同于转180度！先左右翻转，再左右翻转，得到的是“什么都不做”！所以我们应该说长方形有四个对称。（再不对称的东西也至少有一个对称，即“什么都不做”。）
注意：我改称＂左右翻转＂，不再说＂左右对称＂了。关键词：对称=变换，默念三遍！symmetry=transformation
这个二元运算，很自然地符合“结合律”，用符号表示即为 (ab)c=a(bc)；但交换律不一定成立，变换的先后很重要（如正方形的对称群，下边会提）。如果把这个“对称群”抽象化（抽离具体的几何对象），就得到我们一般看到的群的定义（略）。而一个（抽象的）群
可以“作用”于不同的几何对象上。例如，长方形的对称群可以作用在四个顶点，也可以作用在两条对角线，还可以作用于整个二维空间。
习题：数一数正方形有几个对称。正方体呢？
多说几句。群的“作用”（action）可以看作是一个映射：
，更准确地说是符合群结构的映射，即群同构。这里
表示
的对称群（如果
是有代数或拓扑结构的话，也记作
）。群和群的作用早期是一体的，所有的有限群都被想成是symmetric group
（n个“字母”上的对称群，简称对称群...中文表示无力）的子群，“经典”的矩阵群都是作用在向量空间上的，直到后来群的作用独立发展成表示论，也是很庞大的数学分支。最新的“几何表示论”又把群拉回到了几何本源，但几何已经发展的很远了，那是后话；见表示论都在做什么？几何表示论是什么？ - 数学
我们再来看圆的对称：除了对任意直径翻转，还可以旋转任意角度。这个群可以想象成是两个不相连的圆，（每个点代表一个变换），其中带
的圆是一个子群。这是个无穷群—但并不难理解—是最简单的拓扑群，也是李群。球的对称群（即正交群
，所有
的正交矩阵）更复杂一点，拓扑上是两个（不相连的）三维流形（manifold）。有趣的是，描述这个流形（整体结构）的最基本的方法也是一个群，叫基本群（fundamental group）。基本群看似是一个抽象的群，貌似没有什么“作用”，其实它的作用很重要。
最后我们可以数一数正方体的对称。其实所有的正多面体（Platonic solids，只有五个：面数=4,6,8,12,20）的对称群都可以算是
的子群。这类特殊的子群叫做reflection group，也叫Coxeter group（Coxeter把所有维度的正多面体都搞清楚了，就是靠分析对称群），因为它可以由（有限个）reflections生成。
上边提出的“广义的对称”其实远远超出几何图形的范畴。群最早的应用就是解决n次方程的求解，对称群
作用在方程的根上（后来解释成作用在有理数域的扩张域上）。李群最早是用来解微分方程的，群作用在解上。另一个例子就是物理学家最爱提的对称：作用的对象是物理定律，具体地说是可以导出运动方程的Lagrangian，而所允许的“作用”包括平移、旋转所带来的变化，也包括相对论的时空转换，甚至更玄奥的gauge transformation。
后续（不大好插到前边，就写在后边了）：
当有两个群作用在同一个物体上，很自然地我们会问怎么把两个群结合起来，构造一个最小的包含两个群的群。当然一种描述就是“包含所有群作用的任意组合”，即
（有限长）,
，但很可能有重复。怎样更简洁地描述"
"呢？（从这个角度看，现代代数与中学的代数，甚至小学的分数运算，还是有相通之处的，都是把一个复杂的式子简化，而且关注这个简化是不是唯一的，以便判断两个式子是否相等。）
情形1：两个群的作用是可以交换顺序的，如上下翻转和左右翻转。这样任何一串式子都可以简化成
，群运算也很好描述。如果
，这种简化就是唯一的。抽象起来就是两个群的直积（direct product）：
。
情形2：两个群并不交换，如翻转和旋转。举例来说对于正方形，翻转群有两个元素（记作
，s为左右翻转），旋转群有四个元素（记为
，r为逆时针旋转90度）。为了方便，我们把正方形的四角标上1234:

vs.
明显
。但是显然
和
的作用是有某种联系的，不难验证

即
（终于不得不规定，这里我们的群作用的先后是按从左到右的顺序相乘）。换言之，虽然
与
不能交换顺序，但如果我们不介意把
替换成
所在群的其他元素，那还是可以把一串如rssrrrsrs的式子中的s都挪到左侧，使得s和r生成的群与
的八个元素一一对应。概括来说，当两个群
和
满足
（且
），则
和
生成的群与
一一对应，但群运算不像直积那么简单。这就是半直积（semidirect product），记作
（这个符号可以理解成G作用于H的变体，即G的每个元素都成了一个
的映射，即
。更准确地说，有一个群同态
，而半直积记作
）。这里就引出群论的几个基本概念：正规子群（normal subgroup），automorphism group，inner/outer automorphism 等等。
情形3：两个群不交换，也不满足一个normalize另一个，如两种翻转群，其夹角不是90度。这样生成的翻转群是很重要的一类群，不光是高维多面体的对称群，在李代数中非常重要。这类群可以由几个翻转
生成，满足的关系是
，其中
(因为
是翻转)。这些
并不是可以任意取的，而要对应
和
的夹角。这样生成的群包括一串类似
的式子，没有同样的生成元相邻，但还能进一步简化。如
两边各有
项，这样替换之后可能会消项，式子就变短了。不幸的是，我们没有唯一的简化，但最简的式子都一样长。
情形4：两个群完全没关系（relations），即生成的群就是
，完全不能简化！这个就是自由积（free product），记作
。这种群自然界有吗？还真有，在球的旋转群
里存在两个旋转，他们之间就没有任何关系。这与Banach-Tarski悖论有关。

有关回应 · 2021-5-25 14:37:49

群论不简单么？一个集合和一个二元运算，并且满足群论四大公理。黑纸白字，没有一个符号、一个汉字是我不认识的。经过这么多年的数学训练，加上刷题，那是想证明就证明、想计算就计算，砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、势如破竹。
但是！我很不爽，这种感觉好比有人叫你去砍人，你也不问问为什么，一言不合就出手把人砍翻在地，或者被人砍翻在地，这种行为我们一般把它成为脑残，你的身份就是别人的小弟。
我们不要做数学的小弟，刷题不能给我们自由，唯有思考可以。
下面就讲一下我对群论的一些思考。
1 集合
讲群论先从集合讲起，集合简单来说就是把一堆东西放在一起（暂时就别提罗素悖论了）：

可是这用处不大啊，东西之间得有相互作用才能更好的描述世界啊：

东西我们把它称之为对象，对象之间的互相作用我们称之为操作或者运算。
自然数
是一个集合，我们从自然数
这个集合出发，通过运算可以创造越来越大的集合(
、
、
、
、
分别是自然数、整数、有理数、实数、复数)：

运算不止加减乘除，数学学到后面就多了很多抽象运算。甚至从集合和运算的角度来看，学数学的过程很多时候就是在不断的扩大对集合和运算的认知。理解的集合和运算越多，相关领域的数学基本上也就理解了。
其中有种特殊的集合+运算就是群。
2 群
简单来说，群的作用是描述对称。
2.1 什么叫对称？
我们来看看：

正方形对称吗?
物理定律对称吗？
多项式的根对称吗？

上面的问题的答案都是：对称！
对称就是：“某种操作下的不变性”，关键字是两个：“操作”和“不变性”，要说明这点让我们通过上面的三个问题来理解。
2.1.1 正方形是否对称？
先看看正方形，其实它对称是蛮明显的，符合我们日常的语义，可是我们也要把它放到数学的语境里来分析一下：

围绕中心点旋转这个操作，正方形所具有的不变性就是对称。
我们换一种操作，正方形也可以对称：

围绕中垂线这个操作，正方形也具有不变性，也是一种对称。但是因为操作变了，所以这种对称和上面的那种对称不是同一种对称，之后我会再说到这个问题。
假如刚才的正方形只是桌子的桌面，继续围绕中垂线翻转这个操作就不对称了：

2.1.2 物理定律是否对称？
这个听起来就有点奇怪了，但是从不变性的角度出发，相对于时间流逝这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对时间对称。相对于空间改变这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对空间对称：

这听起来蛮哲学的，不是说数学学到后面都是哲学吗？
物理我属于民科水平，大家可以参看对称性----维基百科。
2.1.3 多项式的根是否对称？
说明下，多项式方程指的是形如
这样的方程。
群论就是从解多项式的根开始发展起来的，所以自然要谈一下为什么多项式的根具有对称性。
首先要从简单的一元二次方程说起：

从上图中来看，相对于
运算，多项式的根互换之后结果不变，针对这个运算它们是对称的。对于
运算就没有对称性。
这个对称性有什么用？根据韦达定理，一元二次方程
，其中
，系数是已知的，实际上我可以联立这样的二元方程组求得方程的根。
所以顺便说一下，群论的发展过程是这样的：

关于伽罗瓦与一元五次方程的问题，与群紧密相关，但是又涉及到更多别的知识，本文就不继续推下去了。
2.2 对称如何用数学表示？
让我们从正方形开始解读如何来表示对称.
之前说过，对称最重要的是在“某种操作下的不变性”，所以我们先讨论正方形围绕中心点旋转，总共有4种对称操作：

或许你觉得应该不止4种操作，比如转两圈，这可以等价于“保持不动”，而转45°，这会导致不对称（因为你会明显发现变化）。
起始点是完全不用关心的：

甚至是不是正方形也不重要：

是的，群只关心对称最本质、最抽象的性质。所以我们只关心操作，只需要把操作放到集合里。
要放进去我们必须要把操作给数学化，也就是符号化，我们起码有两种符号化的选择，类比于加法或者乘法：

稍微解释一下，什么叫做类比于加法？比如我们通过类比于加法得到
，“保持不变”映射为了0，“旋转90°”映射为了
，而两个操作的依次进行映射为加法。所以“保持不变” + “旋转90°” ＝
＝ “旋转90°”，是合理。而“旋转90°” + “旋转90°” ＝
＝ “旋转180°”，也是合理的。注意，运算不需要符合交换律。
还要说明的一点是，这里的加法和乘法是模加法、模乘法，类似于钟表，按照12小时制算，
，
。
这样我们就得到了两个群，一个是
，一个是
。但是我们明明知道它们应该是一样的啊，只是符号不一样，运算不一样，所以我们可以称之为同构，就是结构相同的意思。
这里先用到群的解析式了，下面就要解释一下。
2.3 群的定义
先祭出大杀器，群的标准定义：

群是一个集合
，连同一个运算"
"，它结合任何两个元素
和
而形成另一个元素，记为
。符号"
"是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算
必须满足叫做群公理的四个要求：
封闭性：对于所有
中
，运算
的结果也在
中。

结合性：对于所有
中的
和
，等式
成立。

单位元：存在
中的一个元素
，使得对于所有
中的元素
，等式
成立。

逆元：对于每个
中的
，存在
中的一个元素
使得
，这里的
是单位元。

维基百科

数学是自然科学的语言，和日常的说话相比最大的优点是精确没有歧义，缺点就是晦涩不好理解。群的定义也是这样，下面我们用人话来解释群。
套用正方形的例子来解读群的定义，选
这个群吧：

集合里的对象：所有保证对称性的操作。
二元运算：模加法。
封闭性：操作相加还是在集合内，比如
。
结合性：
。
单位元：保持不动就是单位元，映射为0，所以
。
逆元：首先旋转正方形的操作是可逆的，所以
，同时这还是一个循环的运算，
，都可以说是
的逆元。

其实吧，我可以再抽象一点，
，这个群基本上已经没有原来正方形旋转的影子了。群比我们之前学的数学的抽象性更近了一步，要不怎么放在抽象代数课程里面呢？本文只是想稍微让群具体一点。
2.4 群的结构与同构
之前说过，正方形围绕中垂线翻转是不一样的对称

上图我把运算直接表示为"
"。这个群很明显和正方形围绕中心点旋转的群不一样，所以对称也就不一样，用群的术语来说就是，这两种群结构不一样。
现实中，还有各种各样的对称，比如正方形和圆：

这两种对称的结构也不同，对应的群也不一样。群论就是对各种群的研究。
2.5 进一步的思考
关于同构，这里再进一步思考，圆是有无数种对称操作的，之前提到的相对于时间对称的物理定律，也是有无数种对称操作的（因为时间是可以无限流逝的），从某种意义上讲，两者是不是同一种对称，也就是同构？如果是同构，那么我只要研究一个群就可以研究两者了。
思考，才是数学最大的乐趣所在。
最后推荐一本书，Visual Group Theory Nathan Carter，谢谢 @金凯。这书我以前看过，挺好的，就是没有中文版，贵。

有关回应 · 2021-5-25 14:37:50

学习群的线性表示，用矩阵来理解群，一举两得

有关回应 · 2021-5-25 14:37:51

推荐一套小姐姐视频，跟3B1B的有的一拼，非常适合入门。

Abstract AlgebraB站有搬运版本，可以的话还是去支持下原作者。
【Abstract Algebra】- Socratica - 英文字幕

有关回应 · 2021-5-25 14:37:52

从起源来说，似乎最早的群是用来描述几何对称的，举个例子：

比如一个正方形，关于对称轴翻转，关于中心旋转90度等变换，得到的＂位置不变的＂正方形。只是各顶点位置变了。

假设正方形为：
A B
C D
逆时针转90度就是：
B D
A C

这个旋转可以对应于一个定义在{A, B, C, D}上的变换f，满足：
f(A)=B, f(B)=D, f(C)=A, f(D)=C

所以旋转、翻转可以看成正方形四个顶点构成的集合上的变换。把这些变换收集起来，构成一个变换的集合，可以证明这个集合关于变换复合作为乘法是一个群，我比较喜欢叫变换群。

而实际上有一个更强的结论，就是Cayley定理，不正式地说，Cayley定理证明了：任意一个群都形式上等同于某一个变换群。

================ 2015-10-29 ==================

所以我见过的很多群都是大量变换构成的群。举一些例子：

最好的例子莫过于全体n*n矩阵构成的群：如果理解矩阵和线性变换的关系的人会知道：矩阵代表的就是（在固定一个坐标系下）一个线性变换的数值表示。简单说，矩阵就是线性变换。
那么全体n*n矩阵构成的群也就是变换构成的群。（验证四条定义我就不验证了）

而且线性变换群还有很多子群，比如正交变换（刚性变换）构成的群，还有非退化变换（秩大于0的矩阵）构成的群。等等。

再举一个例子，就是变换群，考虑一个有限集S = {1, 2, ... , n}。 S到S上的所有双射也是构成了一个群（四条定义也不验证了），这与前面正方形翻转是一个东西。就是自同构群，或者说对称群。

同样的对称群也有很多子群，比如偶变换构成的群。

在物理学里面还有很多群，我不太熟悉，但应该也和变换有关系。

如何直观地理解群论？

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