首先，我们假定要研究的两个随机变量是X和Y。他们的联合密度函数是f(x,y)，X的边缘密度g(x)，Y的边缘密度是h(y)，他们的期望分别是EX和EY，方差是Var(X)和Var(Y)，协方差为Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY
然后，题主问的是随机变量X和Y不相关却不一定独立？
这里我们默认不相关指的是不线性相关，也就是协方差或者Pearson的线性相关系数为0
即Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0 或者说 EXY=EXEY。
PS：一般来说，概率和统计中不加说明的使用不相关都是指线性相关系数为0。此外，相关系数不为0的情况，各式各样的说法有很多，有的人会说这两个随机变量相关，有的人会说两个随机变量之间有一定的线性关系，显得不严谨，因为xjb乱用的人太多了，总之怎么舒服怎么来，讲清楚就ok。此外楼主说的是随机变量，随机变量的独立要想严格讨论一定要在概率的框架下面，此外随机变量uncorrelated的定义就是协方差为0，请自行wiki。在统计中，独立只出现在假设中，样本本身是不能用来讨论独立性的，度量样本相关性的量很多，除了Pearson的线性相关系数，还有Kendall’s tau，Spearman‘s rho。
独立就是两个随机变量相互独立，等价于f(x,y)=g(x)h(y)，即联合密度函数等于两个边缘密度的乘积。对于离散的随机变量会稍有不同，Pr(X=x,Y=y)=Pr(X=x)Pr(Y=y) for all x and y。
首先，很明确的告诉题主， 随机变量的 不相关 和 独立 在定义上就是不等价的。
独立是不相关的充分不必要条件，即独立可以推出不相关，反之不行。
Proof:如果已知f(x,y)=g(x)h(y)，![]()
独立=>相关 证毕
下面我们看相关!=>独立
如果已知 EXY=EXEY，显然是无法推出，f(x,y)=g(x)h(y)。
我们只需要构造一个反例就可以了，
反例如下
X 是在-1，-1/2，0，1/2，1上等可能取值的随机变量，即Pr(X=?)=1/5 for all ?，E(X)=0
Y=X^2，则Pr(Y=1)=2/5，Pr(Y=1/4)=2/5，Pr(Y=0)=1/5，E(Y)=1/2
XY=X^3的分布，是在-1，-1/8，0，1/8，1上等可能取值的随机变量，即Pr(XY=?)=1/5 for all ?，E(XY)=0
E(XY)-EXEY=0
X与Y是不（线性）相关。
但是显然他们不是独立的（其实不显然，这里是要证明的，开动你们的脑筋，哈哈）
PS:给爱思考的孩子，为什么相关系数为0呢，因为X和Y是perfect的quadratic relationship，taylor展开的一阶项为0。
等我有时间再补一个连续型随机变量的例子=w=这里面有偷梁换柱的嫌疑，因为我的反例是离散情况下的，但是我想证反的是连续的情况~Update：连续的例子已经有人给出了，我可以安息了
加餐：
在某些特殊的情况下，不相关可以推出独立，这时候不相关和独立等价
1. X，Y的联合分布服从二元高斯分布
2. X，Y都是两值随机变量（Bernoulli random variable）
第一个证明上网上一搜就有，自己证也很简单。
第二个是我本科学概率论的课后习题，爱思考的孩子，加油哦~
所以我一看楼上几个拼命用bernoulli r.v. 举例子的仁兄，觉得特别可爱哦。 |
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