期权的时间设置

上海濡圣投资管理有限公司

B-S 模型假设标的资产和期权连续不间断地交易，但是现实中，大部分金融资产只在周一到周五的常规工作日交易，在周末停止交易，在重大节假日中也会停止交易。因此，有必要关注 B-S 模型中的到期剩余时间这一变量。对到期剩余时间很长的期权不会构成很大问题，但对于到期剩余时间常常只有一个月的期权，就要认真考虑这个问题。

自然日的工作日基准

一般将 B-S 模型中使用的到期剩余时间的一年设置为 1，若以自然日为基准，那么 1 个月为 1/12=0.08333，若离到期时间为 1 周、1 天，则到期剩余时间分别为 1/52=0.01923, 1/365=0.00274。将有交易的工作日包括进去是理所当然的，对休息日要如何处理？对春节、国庆节等超过 1 周的节假日如何处理？对上一日收盘后到第二天早盘休市时段如何处理？这些问题的答案与标的资产波动的原因有很大关系。影响标的资产波动的情形有以下两种。

（1）仅交易时段影响标的资产波动。

（2）交易时段和非交易时段均影响标的资产波动。

交易时段和非交易时段对标的资产波动的影响，可通过真实市场数据求出收盘价-收盘价（C2C）波动率、开盘价-收盘价（O2C）波动率和收盘价-开盘价（Gap， C2O）波动率来理解，各波动率的意义如下。

◎ 收盘价-收盘价（C2C）波动率（即当前历史波动率）：C2C 表示 Close to Close, 以当日收盘价和次日收盘价的比率为基础计算的波动率。在计算历史波动率时常常利用该比率进行计算。

◎ 开盘价-收盘价（O2C）波动率（即当日波动率）：O2C 表示 Open to Close，以当日开盘价和当日收盘价的比率为基础计算的波动率。

◎ 收盘价-开盘价（C2O/Gap）波动率（即缺口波动率）：C2O 表示 Close to Open，以当日收盘价和次日开盘价的比率为基础计算的波动率，该波动率是测量 Gap（缺口）多大的尺度，一般在小规模开放经济体中拥有较大值。

如果 C2C 波动率为 40%，而 C2O 波动率为 10%，则可以知道该标的资产的 Gap （缺口）对标的资产波动率的影响轻微。严格来讲，我们要在数据中测量的值其实是方差（σ），因此虽然波动率的比例是 4∶1，但方差的比例是 16∶1。

仔细分析求历史波动率（C2C）的方法。历史波动率通过求每日收盘价比率的对数值（对数收益率）的方差后，又将方差的平方根乘以 250 而求得。乘以 250 是为了将日间波动率折算为年化波动率，其中 250 是一年中的交易日数，但以 C2C（收盘价-收盘价）数据为基准求历史波动率有隐藏的假设。

以某一天的下午 3 点收盘价和次日下午 3 点收盘价的比率为基础计算波动率，默认假定在该两个时点之间持续进行交易（在现实的大部分市场中不会进行 24 小时交易，只在上午 9 点到下午 3 点之间进行交易）。假设交易日为 250 天，一天为 1，则实际交易时间和非交易时间的比例如下。

◎ 交易时间：0.25×250=62.5。

◎ 非交易时间：0.75×250+115=302.5。

◎ 交易时间和非交易时间的比例：1/4.84（≈1/5）。

以某一天的下午 3 点收盘价和次日下午 3 点收盘价的比率为基础计算波动率，默认假定在该两个时点之间持续进行交易（在现实的大部分市场中不会进行 24 小时交易，只在上午 9 点到下午 3 点之间进行交易）。假设交易日为 250 天，一天为 1，则实际交易时间和非交易时间的比例如下。

◎ 交易时间：0.25×250=62.5。

◎ 非交易时间：0.75×250+115=302.5。

◎ 交易时间和非交易时间的比例：1/4.84（≈1/5）。

交易时间和非交易时间的比例大致为 1∶5，因此，出现的问题就是，当期的历史波动率计算方法将接近于 5 倍交易时间的非交易时间忽略，而将总体视作交易时段。解决这个问题的线索可从比较 C2C 波动率、C2O 波动率、O2C 波动率中找出。在前面已经对这些波动率进行过比较，在这里只分析 C2C 波动率和 O2C 波动率。下图表示过去 10 年沪深 300 指数的 20 日波动率。各波动率和方差的关系如下表所示。

图：C2C波动率和O2C波动率

表：各波动率和方差的关系

O2C 波动率约为 C2C 波动率的 95%（0.95），以方差来看该比率为 91%（0.91）。即当日波动率可以说明大部分历史波动率。C2O 波动率约为 C2C 波动率的 38% （0.38），以方差来看该比率为 14%（0.14），即 C2O 波动率可以说明 C2C 波动率的 38%或方差的 14%。非交易时间比交易时间多 5 倍，但对实际市场价格的影响却非常轻微。

从上述讨论可以得知，交易时段对标的资产波动率有最重要的影响。因此，如果极端的假设只有交易时段对标的资产波动率产生影响，则 B-S 模型需要小幅修正。考虑一下交易时间为 09:00 到 15:00 的情形，只在交易时段发生到期剩余时间的减少，而在非交易时段中，到期剩余时间无变化。

以到期日为基准，到期剩余时间用 T 表示，假设到期日 15:00 的 T=0，当日 09:00 T=1，自然日和交易日基准的 T 的变化如下面两个图所示。两图的纵轴均表示 T，而横轴均表示时间的流逝。下图表示无周末、节假日，只有工作日的情形，下下图表示有周末和节假日的情形。

下图表示周一 09:00 到周四 15:00 自然日和工作日基准的 T 如何变化。虚线表示自然日基准的 T。自然日基准表示假定一天为 1，每 24 小时，T 将减少 1。

以每天收盘的 15:00 为基准，9:00 到 15:00 的剩余时间为 6 小时，而这相当于一天的 1/4=0.25，因此在设置时间时，将上午 9:00 设置为 0.25，这意味着非交易时段和交易时段均对期权价格产生影响，且影响比率为各自的时间之比（4:1）。相同时间内交易日基准的 T 不像自然日那样匀速递减，而呈现阶梯状递减。即在交易时段到期剩余时间以倍速减少，在非交易时段到期剩余时间则不减少。

图：自然日交易日（周中）

图：自然日交易日（周末）

波西米亚 · 2021-1-3 15:38:53

机会总是眷顾有准备的人

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