如何通俗地介绍一下全部三次数学危机？

热心回应 · 2019-7-28 21:42:55

讨论一下 @Dr How 提出的如下问题：

将无理数、无穷小量和罗素悖论称作「三次数学危机」的说法，除中文互联网内广泛流传之外，在英语世界几乎找不到（英语是学术通用语）。中文互联网上普遍没有引用来源，我最多只能追到几本所谓「科普」书籍就断了。
「三次数学危机」的说法，看上去实在是有点生搬硬套，并不像是严肃的数学史研究结论。

我的看法是：
1、「不可公度性和无穷小演算导致数学危机」的说法并非毫无根据，但它是某种已经被学界拒斥的编史态度的产物，因此在今天的英语学界不多见。
2、中文语境中「三次数学危机」一说的形成有着列宁主义辩证法的背景，它的流行是数学史服从于政治意识形态的后果。
3、尽管如此，也不能简单地认为「三次数学危机」这个说法毫无意义，我们只是需要转变一下提问方式。

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1、正如另一个匿名答案指出的，尽管欧美学界可能没有明确地把不可公度性、无穷小演算和集合论悖论的后果合起来称为「三次数学危机」，但是将它们分别称为「危机」的数学史文献是存在的。我补充一个不可公度性的例子：D. J. Struik在1954年的《数学简史》（A Concise History of Mathematics）中称，不可公度性的发现和芝诺悖论引起了希腊数学的危机，在后来的修订版中，Struik又援引了H. Freudenthal 1966年的文章「古代是否有过数学基础的危机？」（"Y Avait-Il une Crise des Fondements des Mathématiques Dans L’Antiquité?"）一文来支持这一说法。

C. B. Boyer在1968年的《数学史》（A history of mathematics）中也说不可公度性的发现引起了危机。Struik和Boyer的书都是被长期使用的数学史教材，出过多个修订版，有不小的影响力。 @晓雷答案中的主要故事要素，在这些教材中都能找到。比如「逻辑丑闻」在Struik的书中就有，引用的是希腊数学史的祖师爷Paul Tannery讲的「名副其实的逻辑丑闻」（un véritable scandale logique），出自1887年的《希腊几何学》（La géométrie grecque）一书。

至于为什么上述说法在今天的英语世界中不多见，我的看法是，这种说法应该是数学史学科诞生初期，即19世纪末至20世纪50~60年代的产物。当时英语还不是世界学术通用语，法语、德语也都各有地位，尤其德语的地位曾一度相当于今天的英语。因此早期数学史文献也是多为法语、德语等语言。而等到英语在世界学术界取得绝对优势的时候，上述说法已经不再流行了。

早期的数学史研究并不独立，一般从属于数学系。当时撰写数学史的多为数学家，缺少史学训练，不太理解史学的目标和意义。他们撰写数学史往往是为了支持自己的元数学主张，替自己的主张寻找「历史根据」。他们倾向于在历史中找出一个固有的趋势，把整个数学史刻画成一直朝着他们自己所代表的数学理念不断进步的过程。抱着这样的心态去撰写数学史，就不可避免地把现代人的观念强加于古人。例如主张数学结构是整个数学的核心，就说自古以来的数学工作「实际上」都是在不断构造更抽象、更严密的数学结构；主张数学需要有新的基础，就说整个数学史都在力求建设更可靠的基础，如此等等。另一个匿名答案中提到的H. Hasse, H. Scholz, B. L. van der Waerden, A. A. Fraenkel等人，还有布尔巴基小组的一些人，都是这种编史态度的典型代表。数学系的同学对这些名字应该不会感到陌生，他们都是数学上颇有建树的大数学家，20世纪数学的奠基人。也正是他们最热衷于用现代数学观念去重构古代人的数学工作。在这种思路下，把19世纪末20世纪初的人在构建数学基础时感受到的「危机」挪用到古代，就变得顺理成章了——既然现代数学的基础遭遇了「危机」，那么也理应去讨论古代数学的「基础」是否遭遇过「危机」。

60~70年代是英语随着美国的世界主导地位的确立而在整个世界学术界开始取得优势地位的时期，也正好是数学史开始谋求学科自主性的时期。这一代的数学史家对上述编史态度有了自觉的反思，认识到这种写法属于早已被历史学家批评过的「辉格式解释」，是史学研究应该力求避免的。比如Wilbur Knorr在1975年科学史学会年会上的演讲「现代数学对古代数学的冲击」（"The Impact of Modern Mathematics on Ancient Mathematics"）就以「不可公度性引发希腊数学危机」为靶子，全面反思了上述编史态度，逐一批评了上文提到的多位数学史家。在这样的风潮下，「古代的数学危机」一说就越来越不受待见，没能在此后英语主导的学术界继续占有一席之地。

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2、中文文章直接出现「第……次数学危机」的，我能找到的最早一篇是1974年《数学的实践与认识》第四期刊登的天津市教师进修学院数学系工人学员孙富元的文章「我的一些看法」。文中说「众所周知，数学史上产生过多次『数学危机』」，又谈到了「由无理数的产生而引起的数学史上第一次『数学危机』」。由这冰山一角可以推测，很可能在70年代，国内数学系的数学史教学就已经把「三次（或多次）数学危机」的说法当成普遍共识来讲授了。考虑到在这个时间点之前，国内能够接触到的外国学术文献大多来自苏联，建议搜索一下俄语的数学史或数学哲学文献，或国内对俄语文献的编译，也许就能找到这一说法的直接源头。
但不管源头在哪，至少有一点可以肯定：「三次数学危机」这个说法是在贯彻「革命导师列宁的重要指示」——「辩证法内容的这一方面【指对立统一】的正确性必须由科学史来检验」的大背景下，将列宁主义的「一切事物发展的规律是对立面的斗争」应用于数学史的结果。上面孙富元的文章说，列宁在《唯物主义和经验批判主义》中对「物理学危机」的本质的揭示也适用于「数学危机」，这很可能也是当时数学史教学中的老生常谈，因为这一说法早在1952年《科学通报》第七期和《中国数学杂志》第三期刊登的一篇译文「列宁的辩证法和数学」中已经明确提出。

这篇译自苏联《自然》杂志的文章虽然只提及了「资产阶级社会中」的「数学危机」，并未出现「三次数学危机」的说法，也没有将「数学危机」一词用于古代，但是，它为了论证「数学完全证实了列宁的思想」，论证「对立的斗争是数学发展的规律」，而把不可公度性的发现和17世纪无穷小问题，以及黎曼、康托尔、戴德金的工作，还有解析几何、数学分析、泛函分析、拓扑学、近世代数等，全都解释为连续性与离散性这一组对立面的统一与斗争的结果，并指出还有其它几组基本的对立，它们的斗争也都推动着数学的发展，整个数学史就是对立面轮流占上风的螺旋式上升过程。

沿着这个思路只要再多走一步，自然就会得到「三次数学危机」的说法。既然当代的数学危机是对立面斗争的激化，而斗争又贯穿了整个数学史，那么古代数学中必定也有「危机」。而且，既然整个数学史构成了一个螺旋上升的过程，那么不同的危机就不能分开来谈论，而必须把每一次危机视为上一次危机的更高阶段。因此，给「数学危机」加上「第一次」「第二次」这样的修饰，把历次「危机」串联成数学发展的一条主线，也就成为必要。

这种赋予历史一个「发展规律」的思路比前述的辉格式解释更加辉格。「辉格式解释」这个说法本来只是借用政治史的典故来揭示科学史研究中的类似错误倾向，而「对立斗争是数学发展的规律」则干脆回归到了政治，它不是单纯的数学史命题，而是有着明确的政治指向。列宁主义的辩证法绝不会将「斗争」的含义局限在观念的逻辑关系上，它认为观念上的斗争必然进一步体现为唯物主义和唯心主义的路线斗争，体现为进步阶级与反动阶级的政治斗争。当反动阶级坚守反动路线，顽固反抗，迟迟不被打倒，斗争就激化成「危机」。既然是历史的「必然规律」，那么「数学危机」当然也不能例外。于是讨论「数学危机」就成了「打击反动派」的重要政治任务，数学史变成了政治意识形态的工具。「三次数学危机」之说很可能就是在意识形态的要求下得到了全面普及。

进入80年代后，国内数学史研究逐渐洗刷掉了意识形态色彩，但仍然对自身依据的编史原则缺乏足够的反思。1980年莫绍揆的「数学三次危机与数理逻辑」一文虽然已经不再按辩证法的「对立统一」意义使用「矛盾」一词，但仍然沿用了「危机推动发展」的套路。1985年胡作玄的《第三次数学危机》一书仍然把「矛盾斗争是事物发展的历史动力」奉为「基本原理」。该书中段主体部分还是比较单纯的数学科普，但一头一尾都在重复着「矛盾激化产生危机，危机引起革命性发展」的套话。由于把史学的任务当成寻找「趋势」或「规律」的观念一直没有受到反思，以它为根基的「三次数学危机」一说当然也就不会受到重新审视。

国内数学史研究至今仍然有很大一部分仅服务于数学教学，很少思考数学史作为一门独立史学学科的意义是什么；也不重视对西方数学史的研究，认为中国人只适合研究中国数学史。缺少史学自觉和原创性研究的后果之一，就是在数学史教学和科普中总是习惯性地沿用早先形成的固定说法，从不考虑这些说法是不是有问题。

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3、不过话说回来，尽管「第一次、第二次数学危机」的说法是在有毛病的编史原则下形成的，但「出身不好」并不足以证明它毫无价值。早期数学史家的确在不可公度性和无穷小问题中看到了某种值得思考的东西，他们只是以错误的方式表达了这一洞见。只要我们认识到史学的真正任务，今天仍然可以把这一说法以有意义的方式重新提出。

史学不应将过去当作一种业已完成的「发展运动」来描绘其图像，寻找其「趋势」或「规律」。史学工作是在跟仍然活着的「过去」面对面地交谈，而不是在陈列「过去」的化石、解剖「过去」的冰冷尸体。那些真正死掉的、已经彻底无法对话的东西，根本就不会进入我们的视野，不会被我们视为自身历史的一部分。「过去」之所以是历史，不是因为它在时间轴上排列在「当下」之前，而是因为它与当下始终处在永不停息的相互构造活动之中，这一活动才是历史本身，是史学的真正研究对象。早期数学史家虽然对这种构造活动有所领会，但他们只把握到了一半，他们把过去当成完全被动的材料，只能毫无反抗地接受当下的构造。其结果是把当下的投影误认成历史本身，完全遮蔽了过去。今天史学的关键任务就是要解除这种遮蔽，重新发现我们自己身上活着的过去，有意识地主动与之对话，让过去未能充分展开的某些方面在当下的新环境中重新萌芽，生长出新的果实，从而更新我们对自身的理解。简言之，史学最终不是为了认识「客观的」过去，而是为了认识当下的我们自己。

澄清了史学的任务，我们就知道该如何转变问题的提法了。对于「三次数学危机」这个说法，我们应该问的不是「古希腊和17世纪有没有发生数学危机」，而应该问：为什么在古代人未必觉得有危机的地方，19世纪末20世纪初的数学家却从中看到了危机？为什么他们在寻找危机时总会把目光聚焦在不可公度性和无穷小问题上而不是别的地方？他们对不可公度性和无穷小的这种危机式的诠释如何影响了他们对当时数学基础之争的理解？他们对数学基础危机的这种理解又是怎样影响了他们的数学实践，进而塑造了整个20世纪数学，塑造了今天我们心目中数学的总体形象？

我无法在此给出这些问题的答案。不过我相信，像这样的追问将引导我们去重新审视、进而重新塑造今天对数学的总体理解，而这种基础观念的更新，是开启新视野、开辟新思路的必经之道。我还相信，以上所说的不止适用于数学，也适用于人类历史的一切方面。德尔菲神庙「认识你自己」的箴言，理应镌刻在每一位史学工作者的案头。

热心回应 · 2019-7-28 21:42:56

数学史和数学哲学上确实有「The Three Crises in Mathematics」的说法，但并不是历史上的三次危机，而是指 19 世纪末 20 世纪初，三个数学哲学流派（逻辑主义、直觉主义和形式主义）都在解释数学基础的问题上遇到困难。因此这是同一时期的三个数学危机。相关综述见美国数学学会的获奖论文：The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism

将无理数、无穷小量和罗素悖论称作「三次数学危机」的说法，除中文互联网内广泛流传之外，在英语世界几乎找不到（英语是学术通用语）。中文互联网上普遍没有引用来源，我最多只能追到几本所谓「科普」书籍就断了。最后我找到一个葡语人士在私人网站用英语描述了「三次数学危机」，追到的论文是 IEEE Xplore Abstract。该文没有引用，也几乎没有被引用过，作者来自 McDonnell Douglas Corporation，似乎不是学术圈中人。

「三次数学危机」的说法，看上去实在是有点生搬硬套，并不像是严肃的数学史研究结论。事实上，我不认为无理数和无穷小量称得上是危机。如果有人能找到靠谱文献支持这种说法，我感激不尽。

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感谢真不很知名的文献查找工作，得知确实有人曾经将无理数视做数学基础的危机，不过这种看法已经被抛弃了。德语维基上的原话是这样的（Geschichte der Mathematik “ Wikipedia）：
Die früher verbreitete Ansicht, dass die Entdeckung der Irrationalitt bei den Pythagoreern eine philosophische Grundlagenkrise“ auslste, da sie ihre früheren berzeugungen erschütterte, wird jedoch von der heutigen Forschung verworfen. Die antike Legende, wonach Hippasos Geheimnisverrat beging, indem er seine Entdeckung verffentlichte, soll aus einem Missverstndnis entstanden sein.
大意翻译一下：「之前流传的观点认为，无理数的发现对毕达哥拉斯学派来说引发了哲学基础危机，因为这撼动了他们之前的信仰，这种说法已经被今天的研究抛弃。还有古代传言，说 Hippasos 因为公开了无理数的发现，被视为叛徒而被处刑，这应该是出自对历史的误解。」

热心回应 · 2019-7-28 21:42:57

第一次数学危机：毕达哥拉斯学派认为“数及万物”，并且宇宙一切数都为有理数，也就是说数轴上全是有理数，而有理数全部都可以被表示成两个整数相除。其学生希帕索斯提出质疑：一个直角三角形，两直角边边长为1，根据勾股定理（顺便说一句，勾股定理也叫毕达哥拉斯定理），第三边边长为根号2，然而根号2不能被表示成任何两个整数相除，所以根号2就不是有理数。这个事实在我们今天的人类看来是非常简单的东西，但在当年，这个简单的事实却动摇了毕达哥拉斯学派的根基。当时毕达哥拉斯学派就是数学界的霸王，可想而知这影响有多么可怕。结局：毕达哥拉斯学派无法解决这个问题，于是将提出问题的人解决——把希帕索斯淹死。

第二次数学危机：关于跑得最快的阿基里斯永远追不上起点领先的乌龟的悖论。为了追上乌龟，阿基里斯总是要先跑到乌龟之前所在的点，而在这个时间段之内乌龟也前进了一段距离，而阿基里斯仍然需要追到乌龟此刻所在的点，然而在这个过程中乌龟又前进了。在数学上这是一个涉及到级数和（为了追上乌龟，阿基里斯需要跑多远的距离）以及步骤无穷多（时间空间无限分割）、时间无穷小（时间和距离被分割到无穷小）的问题。我当年在数学专业学习的时候，第一次在理科图书馆看到这个逻辑时也被忽悠了一瞬间。就算学习了收敛级数，知道距离和以及时间和都是有限的，也还是脑子里一直有个小问题：按照芝诺思考这个问题的步骤，经过无限个步骤后，每一小段阿基里斯需要追上乌龟的时间即使趋于无穷小，也还都仍然是个正数，那么看起来阿基里斯还是永远追不上乌龟。后来结合物理上时空的一些理论，得知悖论产生的实质是，这个悖论是建立在将时间和空间进行了无限分割的基础上的，而事实上，时间和空间却并非连续可进行无限分割的。
此外，牛顿、莱布尼兹的微积分也受到了质疑，质疑点是：无穷小到底**是不是0。这质疑使得堂堂的微积分感到了恐慌。当然现在微积分已经稳了，危机解除。

第三次数学危机：罗素为了质疑康托尔的集合论（集合三个特点：确定性、互异性、无序性），而提出了“理发师悖论”。假设有一个理发师，他在门口挂上牌子：我给且只给不为自己刮胡子的人刮胡子。那么，这个理发师是否可以给自己刮胡子？该悖论运用到集合上，则为：假设有一个集合，它是所有不属于自己的集合的集合。那么这个集合是什么东西？（如果集合A属于A,则根据定义，A应该不属于A；如果集合A不属于A，则根据定义，A应该属于A）。然而它是符合康托尔关于集合的定义的。
这个问题直至现在还没有得到很完美的解决。而我们的数学家康托尔当年则被这个问题逼疯了。可怜的康托尔，当年写出集合论时是何等荣耀。然而高帽子真不是好戴的，一被戴上就恐惧被摘。偏偏天才多是偏执狂。

热心回应 · 2019-7-28 21:42:58

《数学悖论与三次数学危机》

如何通俗地介绍一下全部三次数学危机？

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