应该怎么理解隐函数定理？

虽然可以一步一步的验证这个定理的证明，但总觉得自己没理解这个定理到底是什么意思。

热心的小回应 · 2021-1-3 20:27:53

在经济学里面隐函数定理经常会用到，不过证明很复杂。从应用的角度，我们也最好能知道该定理背后的一些直观思路。由于对学习经济学的同学有用，我争取写得详细一些。

隐函数定理关心的是：给定一个隐函数关系
（即一个关于
的方程），在哪些点
附近
可以表示成
的函数
。经济学最常见的应用中考虑的隐函数是
，它表示一个效用函数的无差异曲线。

定理. （二元函数版）假定
是平面上曲线
轨迹上的一点，且函数
一次连续可微。如果
，则在该曲线在
附近的部分定义出
对
的一次连续可微函数。

例：考虑方程
，满足该方程的轨迹是平面上的一个圆（如下图，取自wiki）。在圆上的A 点附近，
是
的函数，在
点附近则不是--该处一个
对应轨迹上的两个
的取值。容易验证的是，在
点函数
对
的偏导数取值为
.

那么知道
是
的函数有什么用呢？如果函数关系成立，我们就可以把该等式写为
。两边对
求导，我们得到

或者
即

.

这个式子在经济学里表示无差异曲线上商品之间的边际替代率：当商品1 的消费增加一个单位的时候，为了保持使效用仍然保持在
的水平，商品2 的消费需要相应减少的量，即对1 消费变化对应的补偿。值得注意的是，由上，为了求得边际替代率，我们并不需要把函数关系
从方程解出来，我们只需要知道函数
的两个偏导数就够了。

定理背后的基本思路

我们描述定理证明中简单直观的部分，即
和存在函数关系
的关系，不证明
也是一次连续可微。

存在函数关系
或者
意味着如果
变化，那么
也一定要相应地变化（而不是反过来）：如果
，那么这两个值的原像一定不包含相同的点
，即集合
。

用经济学的话说，该函数关系要求，如果商品2 的消费量
发生边际变化，那么商品1 的消费量
必须要做相应地补偿才能使得效用不变。

如果商品2 的边际效用
，那么商品2 消费的边际变化不会对总效用带来影响，从而商品1 的消费
不需要改变去补偿。

多元函数

考虑如下的函数方程，我们需要问类似的问题，什么时候变量向量
才可以解为
的函数
？这里是
个方程，
个未知变量。最简单的情形是线性代数里面的线性方程组。

根据上面同样的思路，
意味着
变化，为了满足方程，
就需要相应地变化来补偿。

假定
边际变化到
，那么各个方程左边取值的变化量为

什么时候这个变化一定需要
变化才能补偿呢？ --当这个向量不能由
相应地变化给
带来的效果

补偿（抵消）的时候，即，如果各个
给函数值带来的边际变化向量互相独立的话：

即
=
满秩（行列式不等于0）.

就经济学而言，这个版本的隐函数定理还会在等式约束下拉格朗日法的证明中碰到。

热心的小回应 · 2021-1-3 20:27:54

告诉了我们一个基本事实:函数在某个邻域内的表现和它在这点的导数的性质一样好。摘自卓里奇

热心的小回应 · 2021-1-3 20:27:55

如图所示，

而我们知道，
点的偏导数
，就是这曲线在点
处对
轴的斜率。同样，偏导数
的几何意义是曲面被平面
所截得的曲线在点
处的切线
对
轴的斜率。

于是，上式的
就是黑色向量

上式中的
则是

设在该处有
、

热心的小回应 · 2021-1-3 20:27:56

“很多”映射在局部都可以近似看做线性映射，如果这个线性映射可逆，那么这个函数在足够小的局部也可逆。

热心的小回应 · 2021-1-3 20:27:57

先抄段Boss Yau的话

答：你虽然没有学过希尔伯特，不过你可以试试在二维空间是怎么样的。你看隐函数是什么意思，试试看你有没有办法写下隐函数出来。隐函数定理就是从一个方程式，比如两个变量的，F(x，y)一0，试试看找出Y一，(x)满足这个方程，想想看怎么去找，你自然就会明白，隐函数定理是怎么证的，回家试试看吧!隐函数定理是用迭代的方法证的，整个隐函数定理的步骤也是如此，你可以试一个具体写下来的方程，你试试看怎么去证明它，你就可以晓得整个思路的过程是怎么样的。如果有计算机，你可以试试看这整个迭代过程里面，用计算机是怎么一步步操作的。运行几次以后，你就可以比较清楚怎么走，然后你可以改进算法，晓得整个思路是什么样子。并不是讲这个东西很多人想过，不过在不断改进的过程中，你对这个问题会了解很多。
　　隐函数定理推广到希尔伯特空间上面去以后，就成为一个很重要的偏微分方程的方法，你可以试试看隐函数定理在希尔伯特空间是怎么做的，这个推广很重要，当然你可能还没有学过希尔伯特，不过你大可以试试看，你因此可以将希尔伯特空问学好，明白这个无限维空间是怎么回事。应用隐函数在希尔伯特空间上，这可以用来解微分方程。隐函数定理是不动点定理的应用，你当然晓得，你看整个不动点怎么用，迭代压缩映射，那边可以有很多不同的做法。有很多人一辈子在做隐函数定理的应用。所以随便一个数学问题，你可以找到很多不同的讨论的地方。最简单的问题你都可以找到很多不同的有意思的地方，所以你这样子才会将数学看得比较活一点。

隐函数定理在后面的微分方程（存在唯一性），泛函分析（不动点），几何（找显示表达，我觉得几何里面反函数定理用的多些），没时间说那么多，你可以找些书来看一下，然后回头看隐函数定理就好很多

热心的小回应 · 2021-1-3 20:27:58

我来说一个吧。
隐函数定理描述的是：
当一点的导数有某种特殊的情况出现时，
你就要小心了，因为这里不一定能定义一个有良好双射关系的函数。
（也有确实存在只是这一点存在的情况；这个时候需要其他条件）
比如椭圆的轴端点。
但是如果没出现，恭喜你，你理论上可以从隐函数式子里把这函数解出来。

热心的小回应 · 2021-1-3 20:27:59

说得简单一些吧，现在已经两个变量之间的一个关系：F(x,y）=0，能否确定一个函数关系，即y=f(x)？
经验告诉我们，经常是可以的。但严格来说，必须满足一定条件！隐函数定理就是告诉我们，什么情况下可以从F(x,y）=0推出（或解出）y=f(x)。
定理里的条件，最最重要的是这条：
！这个条件，它保证了每个x只对应唯一的y（局部）。只有这样，你才有可能推出

热心的小回应 · 2021-1-3 20:28:00

看 introduction to smooth manifold 知道为什么 R^n 有 n 个基

于是这个隐函数就是几个基上的分量而已/咪啪

热心的小回应 · 2021-1-3 20:28:01

相当于知道高度来画地图上的等高线

热心的小回应 · 2021-1-3 20:28:02

题主说的是隐函数存在定理吧，三个条件对应两个字，光滑，相交，连续。这样，你再看看定理证明过程，会有一些理解的

应该怎么理解隐函数定理？

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