美学研究者与艺术家是如何看待现代数学的审美的？

最近在各种各样的讨论中，我经常听到这样一句话：“数学与艺术是相通的。”按照我个人的理解，这样一句话往往蕴含着以下几种意义：
一、数学和艺术在方法论上是相通的；
二、数学和艺术在审美上是相通的；
我的问题主要集中在二。按照我个人浅薄的了解，在审美的相通上，人们比较喜欢举以下几个例子：
1.黄金分割、射影几何等几何学作为经典绘画、雕塑的工具；
2.正多面体分类与古希腊人对世界观的美学认知；
3.现代几何与埃舍尔的作品的联系；
4.现代几何与扎哈等建筑师的建筑作品联系。

我想问的是，美学理论研究者和艺术家们是如何看到这些例子（以及其他例子中）数学起到的作用？特别是3和4的例子中，数学究竟仅仅是提供了一些好看有趣的图形，还是真正对艺术品的内涵提供了些什么呢？

反过来，现代数学（请允许我定义为黎曼以来的数学）确实拥有很强的审美性，我想研究纯数的数学工作者都是认可的。但这种审美与美学、艺术学上的审美是一样的吗？一些激动人心的“具有审美”的数学结果，例如20世纪的现代拓扑学的发展、Grothendieck的代数几何大厦、Atiyah与Donaldson等人发展的规范理论，这样一些结果的审美在艺术与美学上有一些相关的讨论吗？

又：关于Grothendieck的motive与艺术的联系，请参考：http://www.jmilne.org/math/xnotes/Cezanne.pdf，以及Milne的主页：MOT -- J.S. Milne。但我认为此文主要讨论的还是艺术对数学的影响，毕竟塞尚的motive的想法并不是从数学思考中得来的。

热心的回应 · 2019-5-25 20:39:53

一点拙见。
个人认为，现代数学的美与艺术的美完全是不同的。
有人画出酷炫的分形，说这是美丽的图案，这是数学之美。有艺术家用数学概念创作画作等，说画作等的美是数学之美。但我不认同，我认为这属于艺术之美，而真正的数学之美，在于定理和证明，在于逻辑的严密和结论的优美，而不在于画出了什么图案。
有人把十二平均律与数学拉上关系，有人认为巴赫的对位与数学有关系，甚至有作曲家用群论来研究和声，但我认为，这只算是一些数学概念在艺术上的应用，或者一些思想上的共同之处罢了，数学之美也不在于它与这些音乐的联系。
至于题主提到的黄金分割，透视，这些可以说也只是简单的应用，与数学最美的部分基本没有关系。多面体的分类定理当然是美的，但如果将定理的意义过度拓展，就已经不再属于数学的范围。个人以为，这是一种滥用。
当然，这只是个人对「现代数学的美」的理解。在有的人眼中，数学的美是更加广义的，他们可能认为所有的美是共通的。对美的定义不同罢了。

热心的回应 · 2019-5-25 20:39:52

毕达哥拉斯学派的美学就是和谐，他们从数学和声去研究音乐节奏的和谐，他们觉得音乐的高低长短轻重都是由数的比例决定的，比如震动越快，音越高～总之，音乐节奏的和谐就是由轻重高低长短各不相同的音调按照一定数量上的比例所组成的。

热心的回应 · 2019-5-25 20:39:51

Et toute science, quand nous l’entendons non comme un instrument de pouvoir et de domination, mais comme aventure de connaissance de notre espèce à travers les ges, n’est autre chose que cette harmonie, plus ou moins vaste et plus ou moins riche d’une époque à l’autre, qui se déploie au cours des générations et des siècles, par le délicat contrepoint de tous les thèmes apparus tour à tour, comme appelés du néant.

热心的回应 · 2019-5-25 20:39:50

补充下刘斯坦的。

其实这个问题，取消掉现代的前缀，结合题主的举例，依然是古老的。毕达哥拉斯说过了。

毕达哥拉斯是古希腊第一个使科学精神又感性转向理性的人。在其前的依奥尼亚哲学传统是立足于感性的，从水、火等无定形的东西中去寻找世界的本原。但是毕达哥拉斯剑走偏锋，通过对感性对象的抽象，提炼出“数”的本质意义，以此作为世界本质的基础。这个做法使希腊传统的泛灵论哲学开始转向，且最终在柏拉图的哲学中得到体现——即感性和理性的世界分体，二元对立并存。毕达哥拉斯的学说处于过渡的节点，所以“数”并没有完全脱离朴素的物质基础。“数”有自身的形体，它构成了水火气等感性事物。

在这个过渡的阶段上，毕达哥拉斯提出了古希腊的第一个美学命题：什么是智慧的？——数。什么是美的？——和谐。信封毕达哥拉斯信条的人通过在事物本身的数学属性中寻找美与数的一种直接关联。在毕达哥拉斯学派的人看来，最美的矩形应该按照长宽之比为1:0.618的比例进行构型、球体是最符合和谐之美的立体形象，而最美的平面图形则为圆。

毕达哥拉斯的美学不只是单纯注重在可见的物性本身。他发现音乐的音调变化取决于弦的粗细长短，在这个方面上来说，即便是不可见的非实体的事物，它最终会让人得到一种来自美感的愉悦，亦是其物性中的数量关系决定的。

把审美的体验交给数,在某种程度上是在回归客观美学。认为美是存在着一个先验而独立的存在。审美在此就成为了一种认识性的对于数量关系的分析毕达哥拉斯将人比做“小宇宙”，而世界是“大宇宙”。就像是两台琴发出一样的声音，合唱里不同的声部达成一种音调的和谐产生和声，人在对于数学的和谐比例的体验中体验到美。快感是因为小宇宙和大宇宙间达成了数的和谐而产生共鸣。而艺术在毕达哥拉斯看来，是人主动的对于和谐的数学关系的模仿。

热心的回应 · 2019-5-25 20:39:49

1,2源于古希腊毕达哥拉斯学派对数学关系的崇拜，就是用数学关系表达美。其实是先有美的形式，然后用几何的方法发现这些形式满足的一个共同的几何关系，最后把这个几何关系确立为一个图式，以保证再生产出来的艺术品的形式美有一个基本的保证。

说白了，就是人肉给美的形式学习出来一个数学模型。这就是古希腊的艺术家最重要的任务。文艺复兴亦然，比如维特鲁威人。

这个是最古典也是最经常制造数学美的方法。而且除了给形式美建模的数学模型(黄金比例，维特鲁威人)，有的普通的数学模型本身就很美，他能如此恰当而完美的描述了自然界的现象，比如我们常说的麦克斯韦方程组，甚至开普勒三大定理…本质上来说，和写实带来的美感一样，这是一种模仿产生的美，我们觉得画的逼真的画是美的，能精确的描绘自然的数学模型也是美的。和绘画一样，我们往往觉得对于同一个问题，越简洁的数学模型越美。

其实4本质上来说也一样，据我所知扎哈哈迪德和盖里的草稿都是手绘的曲线，并不是用数学模型画出来的。真正建造了可能会用数学模型去拟合，这个我就不知道了。

而艾舍尔是另一回事，他是一种奇妙的节奏感，和巴赫的音乐类似，这个数学美，和音乐更接近一点。

美学研究者与艺术家是如何看待现代数学的审美的？

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