为何向量没有除法运算？

我们知道，所谓向量，就是“既有大小，又有方向的量”。向量可以进行种许多运算。譬如，加、减、数乘、数量积、向量积。但唯独没有除法（这里指的是分母中含有向量的情形）。一般的高数课本在《空间解几》章节中都没有与向量除法有关的内容。想请教一下，向量真的没有除法运算吗？

除法你可以强行定义一个嘛。
只要保证它唯一。
当然内积和外积不要想着去找它们的除法了。
内积结果是数不是向量。外积除法结果不唯一。

逆矩阵···都快忘了

向量有點積dot 有叉積cross都不是乘法 有數乘scale 矩陣變換transform。
明明都不是乘法，哪裡來除法。

逆矩阵的够了。。。太特殊了，我们定义所谓除法一定是普遍使用的，逆矩阵只能是方阵才有。

向量点乘是为了解决做功问题，叉乘是为了解决角动量问题，大物没学过，不敢多说，但这才是要搞明白的问题。

非要说的话，向量也是没有乘法的。。。

本答案要涉及一点代数知识。
先想清楚除法是怎么回事。前面几个解释得很清楚，除法和乘法应该互为逆运算。对于实数域上的有限维向量空间，先不管除法如何，如果希望定义一个合理的乘法，则它就成了一个结合代数。要是再希望它可除，那么我们的选择就非常有限了，因为有限维的实可除结合代数精确到同构只有三个：实数、复数、四元数，它们的维数分别是1，2，4。对于三维空间来讲，既然维数不同，它不可能同构于这三者之一，所以其中的任何一个合理的乘法（对加法有分配律的结合运算）都必然不可逆。
再说向量积。它不是结合的，但是它满足Jacobi等式，所以自然赋予了三维实空间一个Lie代数结构。它可以嵌入到3 by 3矩阵Lie代数中。对于实矩阵Lie代数不可能谈论除法：矩阵Lie代数的braket是由对易子生成的，谈除法没有意义，因为它是反交换的。
别跟我说特征2的情况，烦。

什么运算都是定义出来的，除法一般定义为乘以乘法逆元，一般的矢量空间中乘法没有逆元。包括点积和叉乘，有几何意义，但代数性质不好。

但你确实可定义出除法来，比如Clifford代数中非零元都有逆元，因为在clifford代数中的乘法下，矢量平方为一个数，且此乘法满足结合率。

也就是说，只有定义出一个代数性质好的乘法来，才能定义除法。

这是我之前就纠结要如何跟高中生讲这个问题，实在不好意思说这个你们以后就会懂了。ミ Д彡不过题主就随便看看，我是针对高中孩子要如何解释的……(●''●)希望对你有一丢丢帮助……

我们先来看看什么是除法——已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法可以看成是“乘法的逆运算”．

那么问题又来了，什么是逆运算_百度百科——运算是一种对应法则．假设
是一个非空集合，对A中的任意两个元素
和
，根据某种法则使
中有唯一确定的元素
与它们对应，我们就说这个法则是
中的一种运算．
这样，给了
的任意两个元素
和
，通过所给的运算，可以得到一个结果
．反过来，如果已知元素
，以及元素
，
中的一个，按照某种法则，可以得到另一个元素，这样的法则也定义了一种运算，这样的运算叫做原来运算的逆运算．
如加法和减法，乘法与除法，幂与对数，微分与积分也互为逆运算．

所以，简单的说，逆运算就是在求逆元。

而我们知道的向量的乘法有两种，一个是数量积数量积，一个是向量积向量积。

·先来看看数量积有没有逆运算呢？
如果数量积有除法的话，设向量
和
的乘积为
(数)，即
那么
由数量积的定义，两个向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在此向量上的投影，那么如果
确定的话，改变
的方向和大小，发现有无数个向量的投影等用于
在
方向上的投影，即如果乘积不变，则向量
的解是无穷多的，所以向量的商不是唯一确定的。
所以数量积的逆运算是没有的╮(╯_╰)╭
大概看图就这样理解吧……


对于高中的小朋友讲完数量积其实就可以差不多告一段落了~

但是还有向量积呢……
·那再来看看向量积有没有逆运算呢？
我也继续假设向量积存在除法，因为向量积的结果仍然是一个向量，设向量
和
的乘积为
(向量)，即
那么
我们知道，向量积的模可以看作平行四边形的面积，那么如果
确定的话，那么变化
的长度和方向，也可以得到相同面积的平行四边形，显然向量
的解是无穷多的，所以向量的商不是唯一确定的。
所以数量积的逆运算还是没有的╮(╯_╰)╭

我们发现对于数量积和向量积，他们的逆运算都是不确定的，所以，向量的除法是不存在的.

其实学了群以后，就不用这么繁琐的讲这么多了。

谢邀 @王希。

先上结论：矢量除法运算是可以定义的。

趁着 @安堇然 知友的答案没被赞太多赶紧来解释。虽然她说的没错，但是矢量分析中确实有矢量除法，和一般意义不同。

除法的一般说法是：已知两因子乘积和其中一个因子，求另一个因子的运算。

一、矢量叉乘无法定义唯一的除法运算

若
,现已知
,求
.设



得线性方程组如下：



由于系数行列式为0，无法由此解出
.

二、矢量点乘无法定义唯一除法运算

若
，现已知
,求
.不妨设
已求出，且
为垂直
的单位向量，则有
（k为任意常数）也是原方程的解。

三、同时已知点乘和叉乘定义矢量除法运算

若
,则有



解出
.

四、复数解释

当矢量为平面矢量时，其可与一复数对应。即



则有



显然有



注意到其点积和叉积是福函数中的一对实部和虚部，若为一般解析函数即满足Cauchy条件。

五、参考文献

[1]梁昌洪，矢算场论札记，科学出版社。2007年9月。