【兴业定量任瞳团队】期权每日一策（拾捌）：期权常用定价方法一览

期权概念篇

期权常用定价方法一览
期权是一种到期损益呈现非线性结构的衍生品，所以其定价方式相较于简单的远期和期货更为复杂。考虑到影响期权价格的不仅仅是标的资产，还有行权价格、剩余到期时间、无风险利率和标的资产波动率，所以定价时要考虑多个因素的影响。从期权诞生至今，定价一直是学术界和实业界最关心的话题之一，最早的期权定价理论，可以追溯到发展了连续时间随机游走过程的Bachelier的论文。到20世纪70年代，随着风险中性定价概念的提出，现在广为人知的Black-Scholes公式随之诞生，这是随机分析和金融经济完美结合的产物。期权定价可以分为模型定价和数值方法，本文中我们将简要介绍实际应用中最常见的BS模型、二叉树模型以及蒙特卡罗模拟。
【BS模型】这个模型是以Black和Scholes两位模型创立者的名字而命名的，BS模型是期权定价中最经典的模型。模型假设标的资产的收益率服从对数正态分布，用合约到期时的期望收益进行贴现得到了定价公式，结束了多年来“拍脑袋”定价的局面。但是BS公式只适用于欧式期权和无红利的美式看涨期权的定价，其他期权无法套用公式；而且假设股票波动率、无风险利率等为常数等。但是在实际复杂的金融环境中，由于市场动荡，国家政策调整等因素存在，以上假设过于严苛，以此定价亦难免存在偏颇。欧式认购期权的BS公式如下，其中S表示标的资产价格，K表示行权价格，r为无风险利率，T表示剩余到期时间，σ表示标的资产的波动率。

【二叉树模型】与约束条件众多的BS模型不同，二叉树模型对股票没有苛刻的数学假设。该模型由Sharpe提出，Cox, Ross和Rubinstein对它进行了拓展。二叉树模型认为标的资产在下一个时间点的价格可能上升也可能下降，使用无套利理论，可以计算出上涨和下跌的概率，再根据到期价格一步步往前推导即可得到现在时刻的期权价格。当所取时间间隔足够小，也就是步数足够多时，欧式期权的二叉树与BS公式定价结果趋于一致。正是因为二叉树模型思想简单，它被广泛用于衍生品定价，来构造离散时间价格运动的模型。另外该模型对于美式看跌期权是同样适用的，它相较BS公式有更广泛的应用空间。下图展示了三步二叉树，标的资产期初的价格为S0，它可能上涨到S0*u，也可能下跌到S0*d（假设u*d=1）,在经过了三步的价格变化之后，标的资产价格可能有以下4种可能，分别计算每种情况下节点的期权价格回推即可得到初始时刻的期权价格。

【蒙特卡罗模拟】蒙特卡罗是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到期望价值，并将此期望价值贴现至现在时点定价的方法，通俗理解就是多次模拟求平均来获取尽可能准确的结果。蒙特卡罗只需要确定标的价格的运动规律即可模拟，不需要调用复杂的数学模型。举个例子，假设现在要对某vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权定价，现在50ETF的价格是2.50元，经过计算可知50ETF在2018年以来的年化波动率为22.40%，假设50ETF价格符合几何布朗运动，只需要模拟100000条价格运动路径计算期权收益并贴现即可得到价格。当路径数目越多，得到的期权价格也就越准确，但是相应也会花费更多的运算时间和空间。蒙特卡罗方法经常用于奇异期权的定价。

风险提示：文中报告为公开数据的整理和统计，不构成投资建议。
本报告分析师：
于明明
SAC执业证书编号：S0190514100003

任瞳
SAC执业证书编号：S0190511080001

自媒体信息披露与重要声明