如何理解arctan(x)求导为1/(1+x^2)？

微积分
========================================================================
// 需要公共编辑
如何理解arctan(x)求导为1/(1+x^2)？ - 用户的回答的评论里题主已经指出他想问的并非是证明过程，而是想了解“反正切函数的导数是有理函数”这样一种反直觉的现象。我揣摩了一下题主的意思，希望各位答主从以下几个方面进行回答：

为什么反三角的导数是有理函数？换言之，作为无理函数，反三角函数或者其他导数有理的无理函数（例如对数函数）是否具有什么特殊性？
有没有几何意义？
有没有物理意义？
如何理解有理函数与无理函数之间的关系？

白如冰 · 2018-11-11 21:26:25

这是一个直观的理解，但并非严格证明。

论坛用户 · 2018-11-11 21:26:26

＋

我们谈谈异次元空间的事情。在实数轴的基础上加一个虚数轴，构成复平面。现在在复空间考虑这个问题。

为了在复空间重现初等函数，一个方案是先定义指数函数，使用逆映射关系和著名的 Euler 公式
便可以衍生出全体初等函数。这是复变函数论第一章开头就会说的事情。

那么我们便有了反正切函数，它是正切函数的反函数，而正切函数直接和指数函数联结，所以反正切函数和指数函数的反函数－－－对数函数联结太正常不过了，三两下，反正切函数是长这样：

现在求反正切函数的导数，等同于求上式右边复合函数的导数，非常容易操作，一二下，便可明白：

所以无论 z 为实数还是复数，此求导公式都成立。

很明显，反正切函数的导数蕴涵了 对数导数 ，说明了反正切函数肯定仅有简单极点。这件事情联系了一个有趣的定理，诸位好汉可移步到如何理解一个复变函数定理？ - 论坛用户的回答玩耍。

最后：

上面所用的方法可以无缝移植到类似函数的证明；
问题描述提及在这个例子中包含的无理函数和有理函数之间的反直觉现象，可理解为对数求导后变成分式函数（即变有理了）。

＋

余翔 · 2018-11-11 21:26:27

可以使用反函数定理，请见：Inverse functions and differentiation，用
表示
的导数，
表示
的反函数，那么反函数定理说的是

设
是
的子集，设函数
有反函数
。设
，
。如果
在
处可微，
，并且
在
处连续，那么
在
处可微并且

我们这里不要求
在
处可微，只要连续就可以了。上式也可以写成

因此

这里用到了
。
连续是因为
是连续并且严格单调。

战歌在路上 · 2018-11-11 21:26:28

看了冰神的回答，有几个符号啥的没看懂具体标的啥，索性自己不惧字丑画了另一个版本）逃，，，

快来签到小助手 · 2018-11-11 21:26:29

摘自 Proofs without Words II

王赟 Maigo · 2018-11-11 21:26:30

令
，得

这也就是说
的导数是
。这样能理解了吗？

论坛用户 · 2018-11-11 21:26:31

提供另外一种画法：
Q: 已知
或
，求
:

A: 由于极限情况下存在两个相似三角形，左边的红色三角形和右边放大的三角形的角y的余弦可以依次分别表示为：

因此有:

magical moon · 2018-11-11 21:26:32

似乎可以这样证明orz

南葱 · 2018-11-11 21:26:33

基于白神的图例，利用上侧窄长的三角形相似可以得到粉色小三角形的边长（如右图），然后再Δx→0时粉色小三角形近似直角三角形，于是与粉色大三角形相似，对应边长比值有：

移项即得：

-

用户 · 2018-11-11 21:26:34

你是不知道求导过程呢，还是直觉上接受不了反正切函数的导数居然是一个形式上完全无关的有理函数呢？

如何理解arctan(x)求导为1/(1+x^2)？

10 个回复