学习数学一定要用抽象的思维去学吗？

以前我深信不疑：学习数学就是要用抽象的思维去学，怎么能不停地构造具体的例子呢？只要制造一堆奇怪的符号和抽象的运算规则然后去研究在人类自己定义下它们之间的关系就行了。可是后来我发现，费曼先生不是这样做的，他说每次他去理解别人讲的东西，他就会想象一个具体的例子。比如：「当他们告诉我这个定理的各项条件时，我便一边构思符合这些条件的情况。当他们说到数学上的『集』时，我便想到一个球，两个不相容的集便是两个球。然后视情况而定，球可能具有不同的颜色、长出头发或发生其他千奇百怪的状况。最后，当他们提出那宝贝定理时，我只要想到那跟我长满头发的绿球不吻合时，便宣布：『不对！』」这是不是说，其实就不用抽象的思维，就用具体的例子去学数学，也可以取得很好的成就呢？@曾博

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:49

谢邀。
“抽象”在数学上其实是个有点模糊的词。为了说明这一点，我举个代数几何里的例子吧：

上有个sheaf叫
，它的整体截面
是由线性函数
生成的n+1维线性空间。（写完以后才意识到一般的基域上的射影空间
也是对的，不过平时写
写顺手了。。）
读完这句话以后，你觉得这句话是否抽象呢？完全看不懂是吧。不过我要说的是：这句话在数学上属于给出了一个具体的例子，对的，一个抽象而又具体的例子；它给出了最简单的射影代数簇
上的最简单的非平凡层
的例子，同时分析了一下它的整体截面——从层的上同调角度来讲也就是给出了0阶上同调。
那么为什么大家会觉得这个例子抽象呢？这就牵扯到抽象涉及到的第一个含义了——概念上的复杂度。要理解这句话，你就必须知道
是什么东西，你还得知道sheaf是什么东西，你还得知道sheaf cohomology，这个就起码要求学过整套微分流形理论、代数拓扑、以及一点点复流形与复代数几何了；为了理解为什么
是我描述的那样，你还不能光知道sheaf cohomology的定义，你还得会算，得真正理解
和
的含义。所以这个概念（在层级上）的复杂性，就比什么求导啊积分啊要高很多了，要理解这样的概念，需要的预备知识就多很多了；所以非数学专业的人可能会觉得这就很抽象啊。但是，对于真正做数学研究的人来说，这还不是真正的抽象；这仍然被视为一个例子。当然，这跟日常生活中的具体实例还是区别很大的。
数学上的抽象，一般有以下这些含义：一般性、形式化，等等。一般性，指的就是对一般的情形都适用，而不是只对某种特殊的例子适用。典型的比如代数几何里面的scheme、stack，乃至后来Grothendieck提出的motivic theory等等；stack是scheme的进一步推广，这个“推广”其实就是更一般、描述范围更广的意思。而上面举的
，它在概念的复杂度上相对本科生而言确实比较复杂，但是在抽象程度上远算不上“一般”，它就是个很局限的、很特殊的例子。现代数学研究意义上真正的抽象、真正的一般，恐怕是外行人根本无法想象的。我为什么要举代数几何的例子而不是举我本行微分几何的例子呢？就是因为我觉得代数几何的抽象程度远超微分几何，我们可以说是天天和非常具体的例子打交道了。。然后上面还谈到一个形式化。形式化的例子可以在数理逻辑里面找，我对逻辑不太熟悉，就不举例子了。
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我上面解释了一大通数学意义上的抽象，却没有回答原问题。。不过我几乎可以肯定题主所谓的抽象和真正数学研究里面的抽象不会是一码事。所以也不用纠结这种无关痛痒的问题了。。本科的数学学习，概念上都不算非常复杂、也不算特别一般（general），所以我的建议是：既要掌握概念本身的抽象含义，也要积累足够多的例子。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:50

不请自来。我学数学n年了，是吃这碗饭的。虽然我说的不一定对，但是我说的一般都有些根据。
数学中“抽象”是分成几个层级，据一个例子：现实生活的三维空间，一般的
（欧式空间）、拓扑空间和“拓扑空间与连续映射构成的范畴”，是几个不同的level。学习数学是可以通过“具体”的例子来学的，但是费曼先生讲的具体和数学中的具体有点不一样。你理解的“具体例子”一定要还原到现实生活，这就有点过头了。我推荐学习的数学的方法是冯诺伊曼的学习方法：“熟悉”。

年轻人，在数学里，你不能要求（完全）理解一些事，你只能熟悉它们了。

当你要学习一个高水平的“抽象”的时候，拿出自己熟悉的低一级的例子去理解。比如，通过对n=1,2的欧式空间的一些结果去理解一般的欧式空间。通过欧式空间、 l^2空间去理解希尔伯特空间和巴拿赫空间。 当你娴熟的理解一个级别的抽象后再进军下一级别。但是，记住，不管哪个级别，学习数学的时候，尽量用数学的例子的来理解。特别是，如果你是一个数学专业的人，要切记这一点。因为数学有很多反直觉的结果，这些非平凡的特例很重要。比如，你学习数学分析／高等数学，当然了，你可以通过日常生活的运动轨迹来理解“连续函数”，但是你很难通过这个来知道一个事实：“存在一个连续函数处处不可导的函数”（比如，威尔斯特拉斯函数）。第一次，知道这个函数，你会诧异，我也会。对于这样的特例，你要记住、多算几次然后熟悉它。慢慢地，你会有一个直觉：连续性比可导差很多。这个时候，根据你对威尔斯特拉斯有下面的“想象”。它也变成了你能直接理解的“熟悉的事物”了。你也可以利用它来理解下一个级别的抽象概念。但是，这个图只是“想象”，你不能较真，也不能靠这个来“证明”存在一个连续函数处处不可导，具体的证明还得回到它的定义：

我承认很多数学有点为了“抽象而抽象”，但是，大部分数学的抽象是为了处理“更一般的问题”，获得“更深刻”的理解而去做的。了解那些“抽象”的起源会对你理解抽象数学帮助很大，这就是为什么Artin的代数关注很多具体的群，阿提亚自己甚至会搜集一些高度不平凡的反例。

归纳一下吧：学习抽象数学自然可以通过例子，我甚至推荐你多熟悉各种例子，但是这些例子必须是“数学的例子”，如果你把它弄成很形象的“生活例子”也无所谓，但是你一定要小心“它是不准确”的。当你熟悉一个level的抽象后记得去进军下一个level。这样可以事半功倍。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:51

有些数学家是鸟，其他的则是青蛙。鸟翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遥远地平线的广袤的数学远景。他们喜欢那些统一我们思想、并将不同领域的诸多问题整合起来的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周围生长的花儿。他们乐于探索特定问题的细节，一次只解决一个问题。我碰巧是一只青蛙，但我的许多最好朋友都是鸟。
这就是我今晚演讲的主题。数学既需要鸟也需要青蛙。数学丰富又美丽，因为鸟赋予它辽阔壮观的远景，青蛙则澄清了它错综复杂的细节。数学既是伟大的艺术，也是重要的科学，因为它将普遍的概念与深邃的结构融合在一起。如果声称鸟比青蛙更好，因为它们看得更遥远，或者青蛙比鸟更好，因为它们更加深刻，那么这些都是愚蠢的见解。数学的世界既辽阔又深刻，我们需要鸟们和青蛙们协同努力来探索。

----弗里曼戴森

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:52

首先，费曼是物理学家，不是数学家。虽然有的理论物理学家在数学上也极有建树，比如Witten，但是就我所知费曼好像并不是这样的。

其次，题主你看的那本书是《别闹了，费曼先生》。那是一本里面有好多段子性质的内容的传记性质的休闲读物。连科普作品都很难算得上。

最后，也是最关键的，就在题主你贴的这段文字前后，还有这样的内容。

所以，为什么不能这么学数学已经很明显了吧？

最后，再多说两句。学习数学例子和反例当然是极其重要的。但是这些例子不是胡乱来的。就像孔子说的：随心所欲不逾矩。这个矩就是抽象的思维的结果。没有这个，你所能做的，充其量也就是胡搅蛮缠罢了。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:53

为学日益，为道日损。先把书读厚，再把书读薄。其实很多数学家，如小平邦彦，是抽象和具体都玩得转的。

大道理讲完了，剩下举例子，以后有时间补上吧。

学习数学一定要用抽象的思维去学吗？

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