较早出现的展开的例子是芝诺(约公元前490-前425, 意大利哲学家)有关运动的悖论之一，二分法，在亚里士多德写的《物理学》中被这样描述到：“移动是不可能的，因为在移动到终点位置之前，必须先移动到原位置与终点位置的中点处”。
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复杂函数展开的目的和方法
1.墨卡托级数
历史上有一个著名的用多项式函数表示一个函数的例子，是墨卡托级数：
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墨卡托通过计算双曲线 ![]()
与 ![]()
轴围成的，从0到 ![]()
的图形的面积得到这个表达式。
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把区间 ![]()
划分为n个相等小区间，每个小区间的长度 ![]()
，构成n个小矩形，如图所示，小矩形的高依次为 ![]()
则所求面积 ![]()
现在将每个小矩形的高展开为几何级数，我们知道，对于几何级数
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当 ![]()
时，由于 ![]()
，从而 ![]()
则
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那么
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卡瓦利里于1635年在他的书《几何学中不可分割的连续量》(Geometria indivisibilis continuorum)中首次发表了一个结论： ![]()
代入上式，得
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而A是函数![]()
在0到x之间的积分,即
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由此可知，对数函数 ![]()
展开，是对平面图形求面积的结果。
2.实际问题中的函数 ![]()
,有的表达式很复杂，有的甚至给不出表达式，只能通过某种测量方法得到一些离散的自变量-函数值对；一个很自然的想法就是，如何将 ![]()
用某个函数 P(x)近似表示?
选择哪种函数类型P(x)来近似代替f(x)是我们首先需要考虑的问题，如果测得f(x)上的两个点 ![]()
对应的函数值 ![]()
，我们可以用线性函数 ![]()
近似代替函数 f(x )
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用点斜式表示
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定义 ![]()
为f(x)在 ![]()
处的一阶差商，则称 ![]()
为一次牛顿线性插值函数。
用两点式表示 ![]()
记 ![]()
为一次插值基函数，则
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为一次拉格朗日线性插值函数。
如果f(x)在开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，相异的点 ![]()
都在[a,b]上，不妨设 ![]()
，且x是[a,b]上一点，由于f(x)很复杂甚至数学表达式未知，我们希望构造另外一个函数P(x)，使得 ![]()
，用 P(x)近似代替f(x)。为了便于叙述，通常称区间[a,b]为插值区间，点 ![]()
为插值节点，函数P(x)为插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
利用插值法，差商的定义，性质，罗尔定理，最终得到
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其中
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根据差商的定义， ![]()
， ![]()
中，n是几，就表示在 ![]()
与 ![]()
之间插入了几个点，插入的点越多，该函数的曲线与原有曲线就越接近，如果不插入点，就是用一条直线的函数代替，插入1个点就是两条折线，以此类推。
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