勒贝格积分、数学分析、实分析、泛函分析、测度论之间的关联以及先后学习次序是怎样的?

Mather King · 2018-10-3 20:34:12

数学分析（一元和多元微积分的严格理论）是基础。
勒贝格积分是黎曼积分（出现在数学分析里）的推广。
实分析一般指的是R上的Lebesgue测度和Lebesgue积分，以及相关的性质。所以勒贝格积分是实分析的一部分。如果硬要把两者分开，那么先有勒贝格积分，后有实分析。（在北大的语境里，这部分叫做实变函数论，而实分析指的是调和分析）
测度论基本是把实分析的内容抽象到一般空间上，所以是实分析的后置。（不过我是反过来学的，先学测度论，后学实变函数，所以实变理解起来没什么难度，虽然分析技巧练得不好）
传统意义上的测度论主要用在概率的严格理论上，所以纯数的学生一般不学。
泛函分析主要是数学分析和高等代数的后续，也牵扯一些点集拓扑。实分析提供了一些例子，比如Lp空间。所以一般都是先学实分析，后学泛函分析。

总体顺序是
数学分析->（勒贝格积分）->实分析，后面分别指向测度论和泛函分析。
北大的开课顺序是：大一上、大一下、大二上：数学分析；大三上：实变函数（包括勒贝格积分）；大三下：泛函分析、测度论。

Yuhang Liu · 2018-10-3 20:34:13

谢邀，不过请我个不懂分析的人来答题真是找错人了。。我就说说基础课的学习吧

数分高代这个是所有课程前提，没什么好说的，难题不会做不要紧，但最起码概念都要弄明白，不管多复杂的概念都要在逻辑上弄明白，并且能举出足够多的例子

实分析主要也就是讲测度和积分的，学完数分再看实分析比较好，其实就是把数分的积分定义推广一下；如果你不满足于形式定义的测度论，想多看些例子的话，学完实分析再去学学高等概率论和随机过程，可以看到大量的实例

泛函分析无非是无穷维的线性代数，但正因为无穷维所以情况也变复杂了很多，需要考虑不同的拓扑结构（有限维空间本质上只有一种拓扑），建议理解清楚例子，比如各种函数空间

最后还是要补充一句，这几门课不过是本科基础课程而已，不管以后做什么方向这些东西都是必须的，所以也无所谓高下取舍了

徐曦磊 · 2018-10-3 20:34:14

谢邀，作为一名水货，我说说我们学校的情况
分析是一棵树。
数学分析是比较基础的东西，但是也是入门，教你用一定的数学观点去看问题，比如极限，比如映射等等概念。
接下来说说实变函数和复变函数，实变函数是在讲勒贝格测度和勒贝格积分，比较重要的是说明一个函数到底什么时候可积...复变函数我记不太清讲了什么，总之就是比较解析一些的东西，相对来说我觉得实变函数比较抽象。
接下来就是泛函分析，这门课是讲一般空间下的分析知识，比如Hilbert空间。欧式空间就是非常特殊的空间了...
测度论这门课我是真的没学明白，感觉上其实只要学个第一章就够用(不读数学的PhD得话)...测度也是一种映射，后面几章在讲比较特殊的测度和这些测度上的积分，据说在量子计算这门奇怪的科学上用处比较大...我是弱逼，就不多说了...

学分析的大概顺序
高中数学-----集合论初步-----点集拓扑+数学分析-----实变函数+复变函数(傅里叶分析也可以在这时候学学)-----泛函分析(本科生学到这儿就到头了)
测度论严格来说我觉得不是很像分析课程...另外我觉得其他方向的课程对分析也很有启发...

对于研究生来说，基本的数学分析学完了以后要学的是实分析和复分析...这个都比较复杂...小本科生不知道，反正听说跟本科生的实变函数和复变函数区别很大...

艾阁术 · 2018-10-3 20:34:15

----我去,居然是曲线!!!,这种面积不会算,怎么办?
分解成小的直的来算啊,化为已知的情况近似处理
----我靠,小的直的也有误差啊,不精确怎么办?
分的足够细,取极限啊
----哎呀妈呀，取了极限也分大小和,本身还是不知道怎么办?
用夹逼定理啊,绕过本身,间接求解,换个角度,迂回处理
----啊啊啊,难道每次都要这么麻烦,大小和,夹逼......能不能简化?
那就总结归纳可积函数的类型,确定可积的就随便划分,随便取分点,怎么简单方便怎么来,大大简化过程
----大爷啊，可是每次都还得做划分,取分点,求极限,好苦逼啊,受不鸟了,还能再简单点吗?
牛莱公式出马消灭落后的生产方式,解放处于水深火热之中的劳苦大众
-----苍天啊，可是积分原函数也好难算啊,还能再简单点吗?
凑微分,换元,分部积分,有理函数积分,万能公式替换......应运而生
----我的个神啊，可是有些函数黎曼积分根本就不可积,无法处理怎么办?
喂,勒贝格积分吗?你过来一下.....