实数
我们想象到的数差不多都是实数。
实数包括：
什么不是实数：
实数直线（用几何直线来描述实数）：
实数是相对虚数来说的，直到有虚数后，才把非虚数叫做实数。
虚数
虚数的定义：虚数的平方是负数。如：
但是，正数的平方是正数、负数的平方也是正数，也就是一个数的平方永远是正数或零。
那么虚数有什么用？可以用来做什么？
我们可以假设有这样的数，称之为 i：
i * i = -1
两边开平方根得到
也就是 i 是 -1 的平方根。
如果我们接受了 i 的存在，就可以解答很多牵涉到负数平方根的问题了。
例子：-9的平方根是多少？
解答：
√9
= √(9 × 1) = √(9) × √(1) = 3 × √(1) = 3i
所以，负数的平方根等于该数为正时的平方根乘以 i：
√(x) = i√x
有了虚数后，我们就可以解开一些之前无法求解的方程。
例子：解
x^
2
= 1。
解：
x = ± √(1)
x = ± i
检验结果：
(i)2 = (i)(i) = +i2 = 1
(+i)2 = (+i)(+i) = +i2 = 1
实数的“单位”是 1，虚数的“单位”是 √(1)，在数学中用 i 表示虚数。
虚数的用处？
虚数和实数结合在一起成为了复数，复数的用途非常广大。
虚数有趣的属性
虚数单位 i
有个有趣的属性。它自乘的积在四个答案里"循环重复"：
结论：
虚数不是"虚"幻的，它实际存在，并且非常有用。
复数
复数是实数和虚数的组合：
如： 1 + i、 39 + 3i、 0.8 2.2i、
2 +
π
i、
√2 + i/2
注意：复数是两个数加起来的，一个是实数部分，一个是虚数部分。
但这两部分都可以是
0
，所以所有实数和虚数都是复数。
复数的直观解释
实数直线是从
左向右
的，
虚数就是从上到下，
复数平面
：
一个复数是在复数平面上的一点：
复数的加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
例子：3 + 5i 加 4 3i
复数的乘法
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2
简便计算：
(a+bi)(c+di) = (acbd) + (ad+bc)i
共轭
复数的除法需要用到共轭。
共轭是把中间的正负号改变，像这样
共轭的一般符号是上面放一条横线：
5 3i = 5 + 3i
复数的除法
技巧是把
上面和下面
都乘以
下面的共轭
。
例子：
解：
简便计算：
(a + bi)(a bi) = a^2 + b^2
解：
复数的用处？
1）频谱分析仪：
播放音乐时时常会看到的频谱显示就是用复数计算出来的，使用的数学技巧叫 "傅里叶变换"。
2）电学：
当我们把两个不对称的交流电合并时，计算合并后的电流是
非常困难
的。
但是，利用复数就可以使得计算简单很多。
3）
曼德勃罗特集：
美丽的曼德勃罗特集是基于复数的。
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