为什么矩阵列空间的维数等于矩阵行空间的维数，怎么理解？

这个问题一直在当做显然的结论在用，细细思考居然没有很好的证明方法，请各位大神赐教。
关于背景：
见下图（截图自来自Gilbert Strang大神的书），以下图的视角问题就是为什么C(A)与C(AT)都是dim r。

有关回应 · 2021-5-30 16:19:05

写个思路：
（1）证明矩阵的初等行变换不改变行秩列秩
证明矩阵的初等列变换不改变行秩列秩
（2）证明矩阵可以在初等行列变换下变成只有对角线上元素不为0,此时行秩列秩就相同

有关回应 · 2021-5-30 16:19:06

有关回应 · 2021-5-30 16:19:07

麻省理工公开课：线性代数第十集：四个基本空间里教授有详细的说明。

有关回应 · 2021-5-30 16:19:08

吉尔伯特的公开课中有一节讲到网络，假如把网络节点加权，则可直观证明。

有关回应 · 2021-5-30 16:19:09

对于列的维数为r的矩阵 A，存在r个线性无关的列向量，组成列空间
Ax的结果其实就是这些列向量的线性组合，那存在r个在行空间中的x使得Ax刚好得到这r个列向量即
我们先来证明的是这r个x线性无关
如果这r个x线性相关，那么存在一个组合
，所以Ac = 0，同时Ac =
因为这些b线性无关所以不等于0，那么这r个x必须线性无关
也就是说A的行空间至少有r个线性无关的向量，至少有r维，则行空间的维数
列空间维数
然后把A转置，同理可得列空间的维数
行空间维数
所以行空间的维数等于列空间维数

为什么矩阵列空间的维数等于矩阵行空间的维数，怎么理解？

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