AVIX ：一个基于随机利率和适应性筛选机制的改VIX指数

来源：兴业证券夏季量化投资研讨会

嘉宾：厦门大学金融系教授、博士生导师：郑振龙

大家好！很高兴今天借这个机会跟大家分享一下我们去年的一个研究成果。期权价格跟波动率高度相关，而现货、期货、远期都没法对波动率进行交易。波动率是二阶矩，一个分布的二阶矩。做股票的主要是判断它的方向，其实是一阶矩。如果这个分布是独立同分布的话，这个波动率是不变的。不变的很好预测。但现实生活中波动率是一个明显的随机变量，所以如何去估计波动率是一个重要的课题。预测波动率，在没有期权之前都是用历史数据用统计方法去估计。有了期权之后，做期权的人首先要对未来一段时间的波动率进行估计，买卖双方对期权进行交易，交易价格里面反映了市场对未来波动率的判断。问题是期权那么多，我们怎样从众多期权价格中提取出目前市场上对波动率估计的水平是多少？刚才刘总也提到，上交所原来公布了ivix指数，去年11月他们改进了这个指数，叫iVX。我们的研究发现，原来的估计在方法上有很多可以改进的地方，所以我们提出了新的一种估计波动率的方法，取名叫AVIX。它考虑了利率的随机变化，以及如何自动筛选信息量大的期权来计算隐含波动率。

我们先简单介绍一下VIX。VIX是2003年CBOE发布的，它是基于无模型的提取方法，是对BS隐含波动率的改进。BS隐含波动率是通过把期权的市场价格代入BS期权定价公式，通过反函数求出的。由于BS公式是基于众多假定推导出来的，因此BS公式自然不够准确，这样计算出来的隐含波动率就很可能存在较大偏差。后来学者们就放松了上述假定，假定标的资产服从更接近现实的随机过程，然后通过数学推导，直接根据同一期限所有行权价的期权价格把波动率直接算出来。目前VIX被公认为隐含波动率代表性指标与恐慌指数，后来很多国家也纷纷效仿这种方法提出了自己的波动率指数。2015年6月，上交所采用类似算法，发布上证50ETF期权对应的iVIX指数，刚才说在去年11月他们改进了这种方法。

那我们做了哪些工作呢？第一，我们提出了一个改进的AVIX指数。它有四个特征，首先我们拓展至随机利率环境，我们知道利率不是一个常数，而是一个随机变量。原来的模型都没有考虑到，我们把它扩展到这个环境；第二个就是中国期权和美国有很大的区别，其实我们是有个红利保护机制，就是标的资产分红的时候，我们期权的相应条款要做调整，但是美国的条款是不做调整的，所以在分红的时候有很大的不同；第三个就是很重要的一个贡献：引入适应性筛选机制，充分利用期权市场信息。其实VIX指数使用同一期限的所有行权价格的期权市场价格来计算。从理论上说，每个行权价的期权只要任选一个看涨期权或者看跌期权（当然选择看跌期权时需要根据PCP平价将之转换成看涨期权）用于计算就可以了。在国外，由于虚值期权的流动性通常更好，而流动性好的期权其所代表的信息通常更为可信，因此国外在计算无模型隐含波动率时通常都是选虚值期权，因为虚值期权的流动性较好。但是在国内不一定这样，因为国内交易成本比较高，所以我们要找到一种机制自动地把流动性好筛选出来再进行计算，这样的话保证了信息更准确；另外我们改进的结果仍能保持“无模型”特征。

与传统VIX指数相比，实证检验的结果表现要更好。首先这个指数的功能是要作为整体隐含波动率的代表，而它是一种更佳的代表；第二点就是波动率指数应可以反映投资者情绪，那我们的这个波动率指数能更好地反映；另外它对市场变化更为敏感迅速，所以可以引领传统VIX的变化，我们算出来的指数和传统的指数在对市场的变化上更能领先；第四个，它是对未来真实波动率的更好预测，因为VIX指数就是期权指数对未来一段时间波动率的预测，关键是要算准，要算得更保持原汁原味，我们算出来的在预测方面更强。这四大方面我们都比传统的要好，所以整体来说这个方法有一个大的改进。

在座的主要是业界的，我们这个是学术论文，理论就稍微过一下。关于这方面的研究，国外的经典文献从78年、97年、99年、00年、05年、07年都有个延续，我们用个表来勾勒一下这些理论的延续有什么特点。第一个就是97年、99年、00年的研究可以归为一类，他们模型假设的特征都是假定标的资产遵循连续扩散过程，利率不变，计算时用的是现货价格，测度用的是风险中性测度，所以算出来的VIX指数其实是隐含方差，这是这三篇文章的主要要素。Jiang和Tian在2005年，把期货价格遵循的连续扩散的过程扩展成一个带泊松跳跃的随机过程，但是它仍然假定利率不变，所以仍然沿用风险中性测度，这个时候它用的是期货价格而不是现货价格，它算的仍然是隐含方差。到了Carr and Wu，在06、09年的文章，他们把标的资产遵循的过程进一步放宽到带跳的半鞅过程，但是它仍然假定利率不变，所以仍然沿用风险中性测度，用的价格是远期价格。因为是带跳的半鞅过程，他们发现用方差概念不太适合，所以就用了隐含二次变差。这是传统的经典文献，在这个基础上我们就思考，他们都假定利率不变，但现实生活中利率肯定是随机的，那利率随机的情况下会有什么不同？如果利率是随机的，期货价格和远期价格就不相等，这就导致了用哪一个价格的问题。紧接着又有个问题，利率如果是随机的，传统的风险中性测度是不能用的。再者，VIX指数到底是隐含方差还是隐含二次变差？当然中国还有个红利保护问题，这些理论问题促使我们研究如何改进隐含波动率的计算方法。
在现实中，上交所原来使用的iVIX指数，选两天比较有代表性的来看，2015年8月24日，市场大多30天期的期权B-S隐含波动率在60%-70%之间，平价期权B-S隐含波动率为68.77%，虽然说B-S公式不是非常准，但也不会离真实值偏离太远。而上交所前版的iVIX为35.61%，这显然差太远，大大低估了市场的波动率水平。同样2015年6月26日也发现了类似情况。所以现实生活中在极端情况下，原来的指数偏离真实值比较远，理论和现实都推动我们去做这个研究。

还有一点要我们去改进的就是，中国的期权市场有一些特殊的特征，一个是现货市场卖空限制是全世界最严格的，在股灾期间更是。第二个就是交易费用，因为中国市场投机性非常强，所以在设计的时候上交所的指导思想就是让大家不要投机，交易费用定得很高。另外行权价间隔也很大，而且行权价数量很少。而在国外就很多。在计算隐含波动率的时候，要用到积分，把所有行权价都用上。积分是连续的概念，那我们现实生活中一定要离散，而太散的话跟连续的误差就非常大。刚才还说过中国有一个红利保护机制。所以在这样的市场背景下，原来的CBOE的VIX计算方法是否仍然适合于新兴期权市场？这是我们要思考的，事实上差距也蛮大的。

这是一个简单介绍，那我们怎么做呢？就从最基础的，从标的资产服从的随机过程开始建模，建模并不是去找期权定价公式，因为我们都是用无模型方法，但是标的资产遵循的过程必须规定。为了使模型具有一般性，因为用的假定越少，模型越符合现实，所以我们用了相对最一般化的模型——It半鞅过程。它的特征是：波动率是随机的，而且允许波动率带有限变差的跳跃，所以波动率本身也带跳；标的资产本身也带有限变差的跳跃；利率也是随机的。这种设定可以适应现实生活中各种情况。唯一的假设是无套利假设，是符合人性的条件。我们这个模型是最一般化的，如果做一些其它的假定，之前的模型就是我们模型的特例。如果假定利率非随机，我们模型的设定就和Carr 和 Wu的研究一样；如果利率非随机加上有限多次跳跃，就和Jiang和Tian的研究一样；如果利率为零或常数加上无跳跃，就和再前面几个人的研究一样，也和CBOE的VIX和上交所之前沿用的iVIX一样。

下面给大家介绍一些小的发现，我们发现所谓无模型隐含方差应当是在T-远期测度下，市场对未来二次变差的期望值，而不是方差。研究过程中应采用远期价格进行分析，在T-远期测度下，远期价格是一个鞅过程，只有后面的随机项，所以在求平方的过程中它的计算最为简便，这是一个技术问题。最终得到现货价格的无模型隐含二次变差。

我们提出一个非常重要的命题1，就是远期价格在t到T时刻之间的二次变差可以拆分成标的资产价格在t到T之间的二次变差、零息债价格在t到T之间的二次变差、两者之间的交互变差三项，就是第一行的公式。所以我们要分别求右边的三部分。

我们首先讲第一个怎么求，就是我们第二个命题讲的。在无套利假设下，标的资产远期价格的二次变差在T-远期测度下的条件期望值可由当前市场上的期权价格计算得到。如果期权足够多，同样的期限有很多行权价，把所有行权价上的期权价格加起来用这个公式算，就可以直接算出二次变差。算出来后我们发现，这样算出来的二次变差，其实跟CBOE的VIX指数很像，比传统VIX增加了利率项和跳跃项。

命题3，如果期权具有红利保护机制，在无套利假设下，标的资产远期价格的二次变差在T-远期测度下的条件期望值同样可由当前市场上的期权价格计算得到。其实有红利保护可以视同这个资产不派发红利，因为分不分红对期权价值没有实质影响。

刚才我们也提到过，在中国不一定是虚值期权流动性就好，由于存在卖空限制，套利机制不畅，交易费用昂贵，加上行权价设置不合理，这种计算方法并不适合于上证50ETF期权市场，甚至在极端情况下可能出现极大的偏差。

我来介绍几个改进。一个貌似可行的解决方案是移动中间点，使得部分实值看跌期权纳入计算，同时剔除部分虚值看涨期权。然而，在中国市场上，哪些期权流动性好是不一定的，用固定行权价区间来选择哪些期权纳入计算并不起作用。我们提出了一个适应性筛选机制来解决这一问题，实时筛选信息质量最高的期权价格纳入计算。什么叫信息好？就是看谁流动性大。如果看涨的成交量大于看跌的成交量的1.5倍，就用看涨；反之亦然。如果两个成交量不相上下，两个都用取平均。

在应用中还需考虑的其它问题，一个就是截断误差与离散误差，这不是我们的贡献，是Jiang和 Tian的研究。他们证明，行权价间隔只要小于0.35个标准差；行权价上下界只要离远期平价点有正负2倍标准差的距离，数值积分的误差将趋于零。这就是设计中要注意的，行权价要非常远，行权日期要非常近。但是因为我们能用的很少，只能用插值，三次样条内部插值，如果是外部的就用水平插值。另外还要做期限差值。

怎样确定F*或F，有三种计算方法：经红利调整的远期/期货价格；根据定义用现货价格计算得到；用PCP平价。在中国我们建议用最后一种。

关于的处理，从理论分析和Jiang and Tian (2005)的模拟研究结果可知，跳跃影响项可忽略。

这样我们已经完成了远期价格二次变差的计算。我们的目的是算现货价格二次变差，还差债券价格二次变差以及交互变差。我们借鉴Bollerslev, Tauchen & Zhou(2009), 假设零息债价格的二次变差和交互变差在T-远期测度下服从鞅过程，又根据Andersen and Bollerslev(2003)的文章算出来。这样我们的理论工作就介绍完了。

下面我们来看一下表现。我们求的是在T远期测度下的二次变差期望值，跟前面的都不一样，考虑了利率随机，红利保护和其他真实的市场特征，纳入考虑适应性筛选机制，最大化利用期权市场信息。我们用的是一般化方法，所以等中国市场成熟以后，我们的指数也不需要改，我们是直接用流动性指标筛选期权，等到虚值期权流动性好的时候，用虚值程度作为流动性好坏的代理变量来筛选期权，还是自然会得到好结果。指数最大的意义在于历史，变来变去很麻烦，最好能一直用下去。

我们来看一下实证中效果如何。我们用的是上证50ETF期权，如果用其他期权只需要稍微调一下，其他原理一样。

数据筛选上，我们剔除违反上下限条件导致隐含波动率小于零的期权；剔除剩余期限少于3天的期权；偶尔出现的无收盘价的期权合约，改用结算价；如果某一行权价的看涨看跌期权在收盘集合竞价时均没有交易量，舍去该行权价。
来看一下我们的结果。

第一，谁是市场整体隐含波动率的更佳指标？第一个是用平价期权的BS隐含波动率，第二个是用平均的BS隐含波动率，第三个是上交所之前用的iVIX指数，第四个就是我们改进的AVIX指数。看最后两列，iVIX最小值和最大值的差距是最小的，这跟其他指标有明显不同。而我们的指标跟BS算出来的比较接近现实。

第二，谁是投资者情绪的更好指标？借鉴Chen and Chong (2014), 采用以下5个指标的第一主成份(贡献总方差的45%)构建情绪代理变量：

1. VCPCR, 50ETF期权近月合约看跌看涨交易量之比
2. OIPCR, 50ETF期权近月合约看跌看涨持仓量之比
3. EVOL, 50ETF交易量
4. ETURN, 50ETF换手率
5. 1个月期SHIBOR, 融资成本

Baker and Wurgler(2006)投资者情绪指标用的是月度数据，频率偏低无法使用。下面我们用主成分做出的情绪指标，分别用上交所的iVIX和我们的AVIX做了回归分析，看一下效果怎么样。首先分别作单变量回归，可以发现上交所的iVIX和我们的AVIX都是显著的，但我们的AVIX，R方更高。同时用两个指标做回归，上交所的指标已经不显著了，但我们的指标仍然显著，所以AVIX更优。

第三，在国外，VIX指数被称为恐慌指数，在国内，我们写论文的过程中，VIX指数和上证50ETF指数全程不分段的相关系数0.31，所以我们把它叫做贪婪指数。就是市场涨的时候波动较高，跟美国正好相反，美国是跌得越多波动越大，像09年3月的时候波动率达到80%。

第四，AVIX与iVIX谁更敏感？也就是谁引领谁？结果显示在波动较为极端的市况下，AVIX对iVIX的引领作用尤其明显，原因在于极端市况下，iVIX无法反映市场真实状况。

第五个非常重要的，谁是未来真实波动率的更好预测？这是在业界非常重要的东西，我们做研究的终极目的之一就是预测。因变量是未来波动率，解释变量就是上交所的iVIX和我们的AVIX指数，跟刚才一样，先分别单独解释，都是显著的，但我们的指数R方要比上交所的iVIX指数高一点；然后用两个变量共同预测，发现我们是显著的但是他们的不显著。最后发现单独用我们的指数比用两个指数同时预测更加准确。当然，上交所11月又改进了算法，等到数据时间序列更长的时候我们再做一个检验，看看区别有多大。

为了慎重起见，我们稳健性检验做了很多，进一步证实所得结论。

第一，改变回归模型：对数和平方。

第二，调整AVIX计算细节。数值积分采用梯形法则而非矩形法则；利率项采用不同频率数据；不同的适应性筛选机制：130%/150%/200%交易量与持仓量作为筛选标准，这些标准对结果没有太大影响。

第三，已实现波动率的其他估计。可以用不同频率的高频数据，还用自相关调整项的阶数，另外对MA(1)处理。

第四，分样本：以6月9日最高价为分割点。

第五，采用现货价格计算，这个在国外可以，但在中国市场不适合。

最后的结果跟前面的结果基本上只有很小的差异，所以稳健性是很牢靠的。所以这个指数还是蛮好用的，你们看起来很理论，但经过检验确实在四五个功能上都特别好，欢迎大家用它做策略，因为做期权肯定要对波动率进行预测。比如市场情绪如何，未来分布怎么样，都是很重要的指标。这个指数如果得到业界认可的话，可以用来开发交易产品和策略，期货、期权等等。所以指数一定要非常可靠，我们也花了很多心血。

下面是我们的结论：AVIX有更一般的模型基础，仅需无套利假设，采用适应性筛选机制、红利保护和其他市场特征纳入考量。与iVIX相比，是市场整体隐含波动率的更好指标，投资者情绪的更好指标，对市场反映更为迅速敏感，是未来真实波动率的更好预测，是更具一般化和适用性的VIX指数。

应用价值上，它具有可操作性，应用十分简单，我们程序和数据都有，落地很快；我们的贡献也很多，一个是随机利率，在目前中国利率比较低的情况下，这个贡献不明显，但是为未来利率回到高位提供了接口；红利保护很简单，仅需对F进行微调；适应性筛选机制以及相应的插值：新增计算简单且自动化；另外开放性：可适用于未来市场状况；独特性就是中国独有的波动率指数计算方式，具有完全的知识产权，更一般化。

这就是今天主要的内容，谢谢！

AVIX ：一个基于随机利率和适应性筛选机制的改VIX指数

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