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本节介绍希尔伯特-施密特范数,它是矩阵的范数的一个简单而有用的上界
1 希尔伯特-施密特范数
设矩阵A=(aij)，则以下式子称为A的希尔伯特-施密特范数(Hilbert-Schmidt Norm)：
它是A的范数的一个上界.
下边以实矩阵为例证明它是上界：
设mxn的实矩阵A：
对任意：
则y的分量可用x的分量表示：
利用施瓦兹不等式估计上式右端的项,得：
令i=1,...,m将上述不等式相加,即得：
根据标准的欧几里得范数的定义，上式可以写作：
上式两端开平方根,再由y=Ax可得：
矩阵A的范数定义为：
于是：
这就是A的范数的一个上界.
类比该证明,可以证明复欧几里得空间中成立不等式：
这就证明了希尔伯特-施密特范数是复欧几里得空间中线性映射的一个上界.
而谱半径是一个下界.
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