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本来是要说高斯积分的，没想到翻开了高等数学一直总结积分相关的内容，下一篇再说高斯积分吧。
1. 1D积分
∫dx 结果就是一个长度
∫f(x)dx f可以看作高度 则结果就是一个面积
∫f(x)dx f为线密度 则结果就是一根铁丝的质量(长度方向远大于其余两个方向)
注：不一定是铁丝，只要物体的长度方向远大于其余两个方向即可，比如杆。
2. 2D积分
∫∫dxdy 结果就是一个面积
∫∫f(x,y)dxdy f可看作高度 则结果就是一个体积
∫∫f(x,y)dxdy f为面密度 则结果就是一块薄片的质量(其余两个方向远大于厚度)
∫∫f(x,y)dxdy f为面内的压强，则结果就是该面所受的压力
∫∫f(x,y)dxdy f为 y**2*面密度 则为绕x轴的转动惯量；f为 x**2*面密度 则为绕y轴的转动惯量
∫∫f(x,y)dxdy f为 y*面密度 则为绕x轴的质量静矩；f为 x*面密度 则为绕y轴的质量静矩。求得质量静矩再分别除以平面薄片的质量，就是平面薄片的重心的位置。
3. 3D积分
∫∫∫dxdydz 结果就是一个体积
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz f为体密度 则结果就是一个空间物体的质量
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz f为g*体密度 则结果就是空间物体所受的重力
另外，同2D积分，可求出空间物体绕某轴的转动惯量以及重心的位置
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现在进一步讨论1D 2D 3D问题中的曲线 曲面情况
4.第一类曲线积分（2D）
∫ds 结果即为弧长
∫fds f为弯曲铁丝的线密度ρ(x,y)时, 结果就是一根弯曲铁丝的质量
注：曲线就需要x y来定位，而直线只需要x定位即可。
注：如果是闭曲线积分时，结果就是铁丝环的质量。
∫fds f为 x**2*ρ(x,y)时，结果是弯曲铁丝绕x轴的转动惯量
∫fds f为 x*ρ(x,y)时，结果是弯曲铁丝绕x轴的质量静矩
5.第二类曲线积分（2D）
积分同曲线方向有关，是特殊的第一类曲线积分
∫fds f为矢量F时，结果就是F沿着曲线s做的功
注：如果是闭曲线积分时，矢量F做功为0。
曲线积分与路径无关，即矢量F做功，不关心路程，只关心位移，只关心出发点与终点之间的距离x，F*x即为功。所以沿L1的曲线积分可转化为沿L2的曲线，只要两条曲线开始与终点相同即可。
6.第一类曲面积分（3D）
∫∫dS 结果即为空间曲面的面积
∫∫fdS f为弯曲薄片的面密度ρ(x,y,z)时，结果就是弯曲薄片的质量。
注：弯曲薄片就是一个3D曲面
7.第二类曲面积分（3D）
有向曲面，特殊的第一类曲面积分
∫∫∫fdS f为质量流量时，结果为单位时间内通过空间曲面S的流体质量。质量流量qm = 流体密度ρ x 体积流量qv。
注：通量就是指，单位时间内流体流过某面积的量。有质量通量，磁通量，热通量等。
8.求解曲线曲面积分的方法
将曲线曲面积分与二重三重积分联系起来。
格林公式：描述了平面区域上的二重积分与该平面区域的边界曲线上的曲线积分之间的关系。即面与面的边界（闭曲线）。
高斯公式/散度定理：描述了空间区域上的三重积分与该空间区域的边界曲面上的曲面积分之间的关系。即体与体的边界（闭曲面）。
格林第一公式：对于这个公式我印象比较深刻，在学习有限元的时候曾攀老师的书上在推导最小势能原理时有gauss-green公式，后来发现原来是高数书上的格林第一公式。wiki里面可以查到，Green's identities格林三公式，第一公式由高斯公式/散度定理推出；第二公式由第一公式推出；第三公式由第二公式推出。
斯托克斯公式/旋度定理：描述了空间曲面积分与该曲面的边界曲线的曲线积分的关系。
9.算子
拉普拉斯算子Δ （读音 delta）
向量微分算子/哈密顿算子  （读音：nabla）
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微分 d
偏微分 （读音 round）
差分 Δ
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散度 div
梯度 grad
旋度 rot
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