Gamma分布的可加性到底应该如何证明？

我自己的证明过程是这样的，首先设定一个引理：
【引理】随机变量X,Y是独立的，各自的概率密度分布函数分别是

则随机变量 Z= X+Y 的概率密度分布函数有如下关系：

利用这个引理证明Gamma分布的可加性
【证明】设随机变量X，Y分别满足

随机变量Z 满足Z = X+Y ，则有

约定

[1] ,则有

令x = z*t t ∈ [0,1]
则有

由第一类欧拉积分

则有

令

易得到

因此可以得到Z符合Gamma分布

证毕，□

【那么问题来了】其中我标出【1】的约定是我自行约定的，如果不约定可以得到结论么？约定应该有其对应的意义，数学上是Gamma分布方差与期望的比值，还有其他意义么？

热心的小回应 · 2021-1-3 19:07:30

其实楼主在自己的计算中得出的约定，恰好是大家通常描述时Gamma distribution使用的参数，参见Wiki上的关于Gamma分布的第一种定义：
Gamma分布
的密度函数:
。
其中
对应题目中的
,
对应题目中的
,也即是题主约定的

那么回到题主的问题，这两个参数背后的意义是什么？

简单来说Gamma分布
就是
个独立的均值为
的指数分布相加。

我们知道一个均值为
的指数分布的期望和方差分别是
。因此易得Gamma分布
的均值和方差分别为
.

而Gamma分布的可加性自然就变成了：

即
个独立的均值为
的指数分布相加再加上
个独立的均值为
的指数分布等于
个这样的指数分布相加。

而题主的约定[1]其实代表了我们只能把同分布的指数分布加起来，如果相加的两个指数分布均值不一样，那么我们是得不到显式的结论的。

听起来是不是直观多了 :)

热心的小回应 · 2021-1-3 19:07:31

卷积之后换参数，特征函数，动差生成函数，如果是整数的话分解成独立同分布指数函数的和。

热心的小回应 · 2021-1-3 19:07:32

赞！刚好老师不靠谱留了这个证明作业，现在清楚了，谢谢楼上大神。

热心的小回应 · 2021-1-3 19:07:33

算特征函数就可以了

Gamma分布的可加性到底应该如何证明？

4 个回复