第十四讲共振

一，共振的数学模型：

弹簧—质量—阻尼系统
如图
标准形式： ${x}''+\frac{c}{m}{x}'+\frac{k}{m}x=0$
设阻尼常数 $\frac{c}{m}=2p$ ，弹性常数 $\frac{k}{m}=\omega _{0}^{2}$ ， $\omega _{0}$ 表示弹簧振荡的角速度， $\omega _{0}>0$
原方程化为： ${x}''+2p{x}'+\omega _{0}^{2}x=0$
假设阻尼系数 $c=0$ ，方程右侧输入的驱动项 $f(t)=cos(\omega _{2}t)$ ，驱动角速度 $\omega _{2}\neq \omega _{0}$
（注：视频中的 $\omega _{1}$ ，这里用 $\omega _{2}$ 表示，以便区别第三节的阻尼角速度 $\omega _{1}$ ）
方程为： ${x}''+\omega_{0} ^{2}x=cos(\omega _{2}t)$
方程左边换成线性算子式： $(D^{2}+\omega_{0} ^{2})x$
方程右边复数化： $cos(\omega _{2}t)$ 是 $e^{i(\omega _{2}t)}$ 的实部，将 $e^{i(\omega _{2}t)}$ 代替 $cos(\omega _{2}t)$
方程化简为： $(D^{2}+\omega_{0} ^{2})\widetilde{x}=e^{i(\omega _{2}t)}$ ， $\widetilde{x}$ 表示复数解， $\alpha =i\omega _{2}$
因为 $p(\alpha )=(i\omega _{2})^{2}+\omega_{0} ^{2}=\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}\neq 0$
指数输入定理 $\widetilde{x}_{p}=\frac{e^{i(\omega _{2}t)}}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}$
取出实部： $x_{p}=Im(\widetilde{x})=\frac{1}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}\cdot cos(\omega _{2}t)$
幅度： $\frac{1}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}$ ；响应角速度即驱动角速度： $\omega _{2}$
当 $\omega _{2}$ 不断趋近 $\omega _{0}$ 时， $\frac{1}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}$ 趋于无穷大
如图1：
假设驱动角速度 $\omega _{2}= \omega _{0}$
方程为： $(D^{2}+\omega_{0} ^{2})\widetilde{x}=e^{i(\omega _{0}t)}$ ， $\alpha =i\omega _{0}$
$p(\alpha )=(i\omega _{0})^{2}+\omega_{0} ^{2}=\omega_{0} ^{2}-\omega _{0}^{2}= 0$
$\alpha$ 是 $p(\alpha )$ 的一个单根
${p}'(\alpha )={((i\omega _{0})^{2}+\omega_{0} ^{2})}'=2i\omega _{0}$ ， $\omega _{0}$ 视为常数
指数输入定理 $\widetilde{x}_{p}=\frac{te^{i(\omega _{0}t)}}{2i\omega _{0}}$
取出实部： $x_{p}=\frac{t\cdot sin(\omega _{0}t)}{2\omega _{0}}=\frac{t}{2\omega _{0}}sin(\omega _{0}t)$
幅度： $\frac{t}{2\omega _{0}}$ ；响应角速度即弹簧角速度： $\omega _{0}$
振幅和时间t成正比，当 $t=0$ 时振幅为0
如图2：

二，当 $\omega _{2}$ 不断趋近 $\omega _{0}$ 时，怎么会从图1突然变成图2？

图1和图2是方程的两个特解，而且差别很大，现在来求它们的通解：
方程： $(D^{2}+\omega_{0} ^{2})\widetilde{x}=e^{i(\omega _{2}t)}$
伴随方程： $(D^{2}+\omega_{0} ^{2})x=0$
特征方程： $r^{2}+\omega _{0}^{2}=0$
特征解： $r=\pm i\omega _{0}$
$x=e^{i\omega _{0}t}=cos(\omega _{0}t)+isin(\omega _{0}t)$
根据定理（第九讲第三节）： $x_{1}=cos(\omega _{0}t)$ ， $x_{2}=sin(\omega _{0}t)$
通解： $x=x_{p}+c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}=\frac{cos(\omega _{2}t)}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}+c_{1}cos(\omega _{0}t)+c_{2}sin(\omega _{0}t)$
设 $c_{1}=-\frac{1}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}$ ， $c_{2}=0$
通解化为： $x=\frac{cos(\omega _{2}t)}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}-\frac{cos(\omega _{0}t)}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}=\frac{cos(\omega _{2}t)-cos(\omega _{0}t)}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}$
当 $\omega _{2}$ 不断趋近 $\omega _{0}$ ： $\lim_{\omega _{2}\rightarrow \omega _{0}}\frac{cos(\omega _{2}t)-cos(\omega _{0}t)}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}$
洛必达法则： $\lim_{\omega _{2}\rightarrow \omega _{0}}\frac{cos(\omega _{2}t)-cos(\omega _{0}t)}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}=\frac{-sin(\omega _{2}t)t}{-2\omega _{2}}=\frac{t}{2\omega _{0}}sin(\omega _{0}t)$
下面求通解的图像：
和差化积公式： $cos\beta -cos\alpha=2sin(\frac{\alpha -\beta }{2})sin(\frac{\alpha +\beta }{2})$
同理： $cos(\omega _{2}t)-cos(\omega _{0}t)=2sin(\frac{\omega _{0}t-\omega _{2}t}{2})sin(\frac{\omega _{0}t+\omega _{2}t}{2})$
通解： $x=\frac{cos(\omega _{2}t)-cos(\omega _{0}t)}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}\rightarrow \frac{2}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}sin(\frac{\omega _{0}t-\omega _{2}t}{2})sin(\frac{\omega _{0}t+\omega _{2}t}{2})$
当 $\omega _{2}$ 不断趋近 $\omega _{0}$ 时： $sin(\frac{\omega _{0}t+\omega _{2}t}{2})\rightarrow sin(\omega _{0}t)$ ，表示响应振荡
$\frac{2}{\omega_{0} ^{2}-\omega _{2}^{2}}sin(\frac{\omega _{0}-\omega _{2}}{2}t)$ 表示振幅边界， $\frac{\omega _{0}-\omega _{2}}{2}$ 表示振幅边界的角速度，当 $\omega _{2}$ 不断趋近 $\omega _{0}$ 时越来越小
如图3：见视频30:00~33:00，当 $\omega _{2}$ 不断趋近 $\omega _{0}$ 时，图3逐渐变成图2

三，假设阻尼系数 $c\neq 0$ ， $p< \omega _{0}$ ，驱动项为 $f(t)$ ：

方程为： ${x}''+2p{x}'+\omega_{0} ^{2}x=f(t)$
$\omega_{0}$ 表示弹簧角速度
$\omega _{1}$ 表示阻尼角速度（伪角速度，见第十讲第三节）
定理： $\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}-p^{2}$ （勾股定理）
$\omega _{0}$ 是固定的，阻尼p越大，阻尼角速度 $\omega _{1}$ 就越小；阻尼p越小，阻尼角速度 $\omega _{1}$ 就越接近弹簧角速度 $\omega _{0}$
假设驱动项 $f(t)=cos(\omega_{2} t)$ ：
方程为： ${x}''+2p{x}'+\omega_{0} ^{2}x=cos(\omega_{2} t)$
只有当没有阻尼的时候，才能产生共振，如第一节所述
什么情况下，驱动角速度 $\omega _{2}$ 能使响应频率的振幅最大？
答：当共振角速度 $\omega _{r}$ 接近阻尼角速度 $\omega _{1}$ 时，即：当 $\omega _{r}^{2}=\omega _{0}^{2}-(2p)^{2}$ 时。

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