正定矩阵和半正定矩阵

如果有 $n$ 阶矩阵 $A$ ，其各个元素都为实数，矩阵 $A$ 的转置等于其本身 $(a_{i j} = a_{j i})$ ，则称 $A$ 为实对称矩阵

假设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，对于任何非零向量 $X$ ，都有 $X^{T} A X > 0$ ，其中 $X^{T}$ 表示 $X$ 的转置，就称 $A$ 为正定矩阵，称 $X^{T} A X$ 为正定二次型。

假设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，对于任何非零向量 $X$ ，都有 $X^{T} A X \geq 0$ ，其中 $X^{T}$ 表示 $X$ 的转置，就称 $A$ 为半正定矩阵，称 $X^{T} A X$ 为半正定二次型。