中值定理、不等式与零点问题
知识点
费马定理
设f(x)在x=x0的某邻域U(x0)内有定义，f(x0)是f(x)的一个极值.又设f′(x0)存在
则有f′(x0)=0
罗尔定理
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，又设f(a)=f(b)
则存在ξ∈(a,b)使f′(ξ)=0
拉格朗日中值定理
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(b)f(a)=f′(ξ)(ba)
柯西中值定理
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
g′(x)≠0
则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)
泰勒定理
设f(x)在[a,b]上有n阶连续导数,在(a,b)内有n+1阶导数,
x0∈[a,b],x∈[a,b]是任意两点,则至少存在一个ξ介于x0和x之间
使得f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(xx0)+f″(x0)2!(xx0)2+...+
f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x),其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1
Rn称为Langrange型余项
Peano型余项为o((xx0)n),条件改为(a,b)上n阶可导即可
| Langrange |
Peano |
| 条件 |
存在n+1阶导数 |
| 余项 |
Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1 |
| 用途 |
用于区间[a,b]上 |
例题
例题1
设x>0,y>0,证明lnxlny<xaax√
例题2
设0<x<+∞,证明(1+1x)x(1+x)1x≤4,当且仅当x=1时等号成立
例题3
设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0,且f′(x)在(a,b)内严格单调递增
证明在(a,b)内f(x)<0
例题4
设f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，且f″(x)<0.试证明:对于(a,b)内的任意两个不同的
x1与x2,以及满足s+t=1,0<s<1的两个整数s与t,均有f(sx1+tx2)>sf(x1)+tf(x2)
例题5
设f(x)满足1.在[0,1]上连续，2.在(0,1)内可导，3.有点xi∈(0,1)及
常数pi满足0<pi<1,(i=1,...,n),并且∑i=1npi=1,∑i=1npif(xi)=1,f(1)=1
试证明至少存在一点ξ∈(0,1),使f′(ξ)=0
例题6
f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,∫10f(x)dx=2
证明：至少存在一点ξ∈(0,1),使f′(ξ)=0
例题7
设f(x)在[a,b]上可导，且f′(a)f′(b)<0.
试证明至少存在一点ξ∈(a,b)使f′(ξ)=0
例题8
设f(x)与g(x)在区间[a,b]上连续，并设(x)=g(x)∫baf(x)dxf(x)∫bag(x)dx
试证明存在ξ∈(a,b)使(ξ)=0
例题9
设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(1)=2f(0).
试证明至少存在一点ξ∈(0,1)使(1+ξ)f′(ξ)=f(ξ)
例题10
设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,常数a>0.证明
(1)存在ξ∈(0,1),使f(ξ)=aa+b
(2)存在η,ζ∈(0,1),η≠ zeta,使af′(η)+bf′(ζ)=a+b
例题11
设常数a>0,讨论a的值，确定曲线y=eax与曲线y=x2在第一象限中交点的个数
例题12
设f(x)=xe2x2xcosx,讨论它在区间(∞,+∞)上零点的个数
例题13
设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且不是一次式
证明至少存在一点ξ∈(a,b)使|f′(ξ)|>|f(b)f(a)ba|
例题14
设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内存在二阶导数，并设f(0)=f(1)=0,max[0,1]f(x)=2
证明存在ξ∈(0,1),使f″(ξ)≤16
例题15
求limx>0tan(tanx)sin(sinx)xsinx |
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