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本文是镒链金工团队波动率建模专题的第三篇。 之前的波动率专题系列文章中提到，在意识到 BS 模型存在缺陷后，学术界和业界几十年来做出了无数尝试，试图寻找更准确地描述资产价格变动的动态过程，从而预测波动率曲面。其中，局部波动率模型和随机波动率模型就是这场实验中比较有意义的两次探索。作为最接近 BS 模型的扩展，局部波动率模型保留了它的完备性。同时，该模型能更好的拟合波动率微笑，产生相对更优的对冲比例。此外，存在局部波动率关于隐含波动率的显示表达，利用该表达式，局部波动率曲面可以直接由隐含波动率曲面计算得到。
01 Local Volatility 模型 1994年1月，Dupire [1] 发表文章证明了局部波动率的唯一性，并且给出局部波动率与 期权价格的数学关系。同年2月，Derman 和 Kani [2]也提出了求解局部波动率的 “隐含树”方法：用 市场期权价格去校准标的资产价格的二叉树，再逐层倒推局部波动率。两篇文章都殊途同归地提出了局部波动率模型，模型中 波动率是标的资产和时间的确定性函数：相比随机波动率模型和带跳跃的模型试图将新的特征引入BS模型，局部波动率模型仅仅对 BS 模型的波动率稍作改变以增加灵活性，最大化地保留了 BS 模型的原始形态。由于未引入新的随机变量，局部波动率模型保证了市场的完备性，而完备性在金融市场中非常重要，它保证了定价的唯一性，随机波动率模型和带跳跃的模型则失去了这一特点。
02 Dupire 公式 具体求解局部波动率中，“隐含树”法的缺陷是，在构造树的过程中不能事先预判是否停止，这给算法的实施带来了很大麻烦；另外该方法非常不稳定，若要在实际中使用必须经过大量的数值调整。目前，求解局部波动率时较多地使用 Dupire 方法。 由Dupire 方法可以推导出 Dupire 公式，方法大致有两种： ① 使用 Fokker-Planck 方程直接推导； ② 把局部波动率看作条件期望推导， 两种方法均可以得到Dupire 公式： 如果无风险利率和分红率较小，局部波动率的平方可以表示为两个期权结构的价格之比。其中分子上的期权结构是一个到期期限相差 dT 的Calendar spread: 而分母上是一个行权价格间距为 dK 的 Butterfly spread： Calendar spread反映的是波动率曲面在时间轴的斜度，而Butterfly spread反映的是波动率曲面在空间轴的弧度。因此，隐含波动率（期权价格）曲面的形状决定了每个节点局部波动率的大小。如果将波动率映射到利率上，局部波动率曲面可以看成利率曲线，局部波动率（远期利率）就是未来瞬时波动率的期望（未来即期利率）。 至此，从理论上说，我们可以使用这个公式由市场期权价格得到局部波动率，但是实际上直接使用 Dupire 公式会存在以下问题： ①期权价格是已知的离散数据点，对期权价格的连续性假设不太现实。 ②公式中的分母是期权价格的二阶偏导，这使得局部波动率对行权价格的变化非常敏感，市场上的微小扰动或者套利情况都会导致公式出现负的局部波动率。 因此，我们不能直接使用 Dupire 公式求解局部波动率。
03 用隐含波动率得到局部波动率 对于 Dupire 公式使用中存在的问题，学者们做了许多尝试，例如，使用 Tikhonov 正则化、最小化函数的熵等方法，试图推导出一个稳定的价格函数。然而，这些方法均大幅增加了模型的复杂度。最后，学者们认为使用BS 期权定价公式来替换 Dupire 公式中期权价格可能是种不错的选择。虽然 BS 公式是基于高度理想化的假设环境，但是正如 Rebonato [4 ] 指出的那样，隐含波动率就是“将错误的数据代入错误的公式得到的正确的香草期权的价格”。 由此，Dupire 公式可以转化为： 其中 \tau=T-t, y=ln(K/Se^rt). 这个公式就是由隐含波动率得到局部波动率的重要工具。当隐含波动率相对 K 的二阶偏导非常小的时候，该公式并不会产生如同 Dupire 公式的问题。 现在要得到局部波动率曲面只需要获得一个隐含波动率曲面，方法有很多，且各有优缺点，例如：参数法的 SVI，非参数法的 TPS 拟合等。
04 局部波动率的优缺点 局部波动率的优点非常清晰明了，首先，作为 BSM 模型最简单的扩展，局部波动率模型更好的刻画了市场上的波动率微笑现象。其次，局部波动率曲面在奇异期权定价上也大有可为。另外，对于标准期权，局部波动率模型可以得到比 BSM 更优的对冲比率。 例：用标的资产（假设为标普500指数） S 对欧式看涨期权 C 进行 delta 对冲，记 Δ_BSM 和 Δ_loc 分别 BSM 模型和局部波动率模型的对冲比例。则对冲组合的值分别为
当标的资产价格变化 dS, 那么 其中 根据隐含波动率和局部波动率的近似关系 [5]，并且对于标普500指数波动率形态为向右下方倾斜，所以可以得出 即 ε<0. 因此， 股指的波动率和价格变动共有下表四种组合：①当股市下跌，现实波动率大于隐含波动率时，上式右边第一项为正，第二项为负，因此|dπ_loc|<|dπ_BSM|，则局部波动率模型对冲效果更佳；②当股市上涨，现实波动率小于隐含波动率时，局部波动率模型对冲效果更佳；其余两种 BSM 模型对冲效果更好，但是现实中前两种情景更常见。 表1：标的资产和实际波动率的变动方向情景组合
最后，局部波动率模型也有以下缺点：①必须定期再校准。随着时间和标的资产价格的变化，隐含波动率曲面会发生变化，局部波动率曲面必须重新计算。②局部波动率模型不能很好地拟合远期微笑，这一点上随机波动率模型表现更好。 本文简单概述了局部波动率模型产生及发展，并且介绍了Dupire公式以及由隐含波动率得到局部波动率的方法，另外举例说明了局部波动率在计算对冲比率上比 BS更优。
参考文献 [1] Dupire, Bruno. "’Pricing with a Smile’, Risk Magazine." Incisive Media (1994): 327-343. [2] Derman, Emanuel, and Iraj Kani. "Riding on a smile." Risk 7.2 (1994): 32-39. [3] Derman, Emanuel, Iraj Kani, and Michael Kamal. "Trading and hedging local volatility." Journal of Financial Engineering 6 (1997): 233-268. [4] Rebonato, Riccardo. Volatility and correlation: the perfect hedger and the fox. John Wiley & Sons, 2005. [5] Hagan, Patrick S., and Diana E. Woodward. "Equivalent black volatilities." Applied Mathematical Finance 6.3 (1999): 147-157. [6] Derman, Emanuel, and Iraj Kani. "Stochastic implied trees: Arbitrage pricing with stochastic term and strike structure of volatility." International journal of theoretical and applied finance 1.01 (1998): 61-110. [7] Derman, Emanuel, and Michael B. Miller. The volatility smile. John Wiley & Sons, 2016.
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