级数 ∑1/(nsinn) 收敛吗？

如果收敛，那式中的幂满足什么条件时恰收敛（恰不收敛）？

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:03

谢邀，虽然这题目看起来像一个数学分析的课后习题，但是它实际上是一个难题。它叫Flint Hills Series。如果你能证明它的收敛性，那么你就能证明
的irrationality measure
小于2.5。而这个估计会比目前最佳的估计好得多。BTW, 数学家普遍认为
. 有两个原因，首先数学家证明了
,第二是证明了几乎所有的实数都满足
.
如果哪位社区er证明了其收敛性，我建议是先写篇文章，投稿到arXiv，然后在再来答题比较好。
这个问题意外得火了，我提供几个参考文献首先是关于Hills Series的文章，其实读起来很简单
https://arxiv.org/pdf/1104.5100.pdf
关于irrationality measure的文献很多，难度要大得多。
Explicit irrationality measures for continued fractions
On the irrationality measure of log3

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:04

为了不失一般性, 我们加大难度, 考虑

若对任意正整数 n 方程
  都有解，则 x 一定是超越数.
这个论断被称为 Liouville 定理, 这种数被称为 Liouville 数.
对于实数 x, 定义集合
记函数
  为 x 的无理度量.
根据定义易知:

如果 x 是个有理数, 那么
如果 x 是个代数数, 那么
, 当然这样的数代数扩张得大于 1.
如果 x 是个超越数, 那么

接下来我们再次考虑级数

我们知道
显然不是有理数. 令
.
于是下列不等式只对有限的互质数对
成立:

对于正整数 n, 令
, 于是有
.

注意到
  时有不等式
  成立.
于是就有:

与此同时, 对于充分大的 n 和 m, 我们有
.
可以推出:

也就是说, 正的常数 c 只取决于 k 而非 n, 因为
  随 n 增大而趋近于
.
因此, 对于所有充分大的
, 我们有:

如若
, 我们取
就能得到:

由于
, 我们有
, 于是:

反之, 如果
, 对于
  原不等式对于无限多的互质数对
成立.
那么就存在这样的有理数列
使得
  且
.
于是:

正的常数 C 只取决于 k.
因此对于
我们有:

另一方面
时, 我们有:

我们可以得出结论，序列
  发散.
因为原序列包含两个子序列，一个趋近于正的常数，另一个却趋近于零.
综上所述,  对于任意正实数 u 和 v, 有:

进而
时,
的序列和收敛到 0.
而当
时,
的序列和发散.
如若
, 读者自证不难.

当前最好的上界由 Salikhov 在 2008 年证明, 我们有:

借此我们就能判定很多这种形式的级数的敛散性.

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:05

我觉得这个问题下回答“收敛”的答主一定都以为
。
看清楚，这个
在分母不在分子诶，这也能看错不适合当民科（逃

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:06

看了以上各位的回答，修改了答案

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:07

这题sin在分子就随便证，只可惜它在分母

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:08

一般性的结论不知道，不过就事论事地说这单个级数我认为是收敛的。因为级数1/（nsinn）中sinn的值是在区间（0，1）中的所以该计数的每一项都大于0是单调递增的，同时该正项级数又是小于级数1/n的，级数1/n收敛，所以级数1/nsinn有上界，根据单调有界原理，该级数单调递增有上界所以收敛。只针对这个级数，改变幂单调有界原理的条件很容易不适用。

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:09

我是老实人，比较级数n的五次方分之一，比较判别法极限形式

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:10

实际上，在无穷大处取极限后，通项公式的导数小于1/x的导数的级数，都收敛。

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:11

利用两个收敛的级数，很简单的，但是我还是参照那位仁兄的说法，先查查资料，看是不是真的证明了那个公式能发表论文，发表了我再来补上回答，搞不懂，这是个很简单的级数证明啊，我大概只用了半个多小时就找到了那个级数。只差具体证明了。为了让你们相信我说的，就透露一点，那个级数和数字3有关。

热心小回应 · 2020-6-22 19:54:12

显然，收敛，证明略。

级数 ∑1/(nsinn) 收敛吗？

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