股票价格为负，期权怎么定价？

作者：江浩Corli
来源：致一财经（ ID: foronefin）

1、CME的“先见之明”？2、Bachelier模型是什么？和BSM模型的区别是什么？3、如何使用单月价差期权验证Bachelier定价模型？4、Bachelier模型的性质（delta、gamma、vega）如何？此时期权还有波动率微笑吗？

一、CME的“先见之明”？
前两天WTI原油期货跌到了-40美元惊呆世人，大家肯定会好奇，当资产的价格为负的时候，怎么给衍生品定价？大家应该也都听说过，包括期权在内的衍生品定价大多使用Black-Scholes-Merton公式（布莱克-斯科尔斯-默顿公式），简称BSM公式，其中最主要的公式如下：

N()是标准正态分布的累计密度函数，St是当前资产的价格，K是期权的行权价，T-t是期权的到期时间。是期权的波动率。 在上面的BSM公式当中不难发现，如果St小于零，St/K会小于零无法求对数，公式直接失灵。
但是基于负的资产价格的衍生品已经存在许久——芝加哥商品交易所CME交易的One Month Calendar Spread Option的底层资产价格很早之前就是负的了，而且一直运行的挺好。更不用说有些国家早就进入了负利率，相关期货、期权的定价都是如何实现的？
所以这个One Month Calendar Spread Option是什么？基于原油期货的单月价差期权，底层资产是“买入当前月的期货+卖出下月的期货”。比如对于“6月到期的单月价差期权”，其底层资产就是“做多6月原油期货+做空7月原油期货”。
为什么说这个底层资产很早之前就是负的了？只要当月的原油期货价格低于远月的期货价格，该“资产”的价格就是负的。对于大宗商品来说，由于储存成本导致近月价格低于远月价格是很正常的（这次WTI5月原油期货跌到负值的本质原因也是储存成本过高）。如下图中黄色K线是7月原油期货价格，红色绿色K线时6月原油期货价格。7月价格高于6月价格，那么这个单月价差期权的底层资产价格就是负的。

（下面的内容如果对金融理论没有兴趣的可以直接跳过～）
为什么BSM公式不允许负的资产价格出现？更深层次来说，BSM公式假设资产的价格服从几何布朗运动（GBM）：

使用GBM模型假设的“好处”有：1）防止价格变成负值：一般布朗运动或者是随机游走都有“价格变成负值”的可能性2）金融资产的价格一般都不直接服从正态分布，例如标普500的收益率本身并不服从正态分布（1950年1月至2019年3月的月度数据）：
不难发现SP500的收益率是一个均值不为零、左偏、后尾、尖峰的分布，也就是说和标准正态分布相比，标普500收益率的均值大于零、负的极端情况的可能性远远大于正态分布、平稳增长/下跌（比如说收益率在-1%-1%之间）的概率远远大于正态分布。
但是如果对标普500取对数收益率，情况就会好很多（虽然厚尾的问题还是没有解决），更加接近于标准正态分布：

那么CME是如何处理“负价格”问题的？ 4月8日CME就有公告：当原油和天然气期货的结算价格低于11美元/桶，交易所和结算中心就可能将定价和保证金机制的模型从BSM替换成Bachelier模型。
在4月21日，CME果然发布了通告将以下衍生品的定价机制从BSM转换成Bachelier模型（名单很长，这里只有一部分），从而让底层资产的价格为负、行权价为负成为可能。
二、Bachelier和BSM有什么不同？ Bachelier（巴舍利耶）是一百年前的法国数学家，是现代金融理论的祖师爷。他是一个推导出了BS公式但是弃之不用的天才[1]，虽然主要原因是“金融习惯”不同——在100年前的巴黎，期权变动的不是“价格”，而是行权价：当股票或者金融资产的价格发生变动，期权的价格并不改变，而是行权价发生变化。虽然Bachelier在当时没有被人看重，但是Bachelier的模型实为现代金融定价模型的基石，和BSM模型不同，Bachelier模型假设资产的价格服从正态分布，并且假设投资者的效用服从CARA函数，而不是BSM模型中的CRRA函数[2]。 Bachelier模型的定价公式如下（假设短期无风险利率为零时）：

其中N()是标准正态分布的累积密度函数，Phi是标准正态分布的密度函数。
三、如何验证Bachelier定价模型？
Bachelier和BSM模型的显著区别就是Bachelier模型可以在负的资产价格下正常运行，我们使用4月22日的CME原油期货期权价格做个验证：首先找到CME原油期货的单月价差期权成交比较活跃的几个品种（说明定价较为有效）。以六月单月价差看涨期权为例，可以发现行权价在-350元、-500元、-700元均有成交：

那么六月单月价差期权的“资产价格”是多少呢？6月WTI原油期货价格为13.12美元/桶，7月WTI原油期货价格为20.15美元/桶，因此标的资产的价格为：（13.12-20.15）*100（合约单位） = -703美元因此我们可以使用行权价为-700元的期权（平值期权一般交易都比较活跃、价格比较靠谱）作为验证。标的资产价格、行权价都有了，使用Bachelier公式只差波动率，简单起见直接使用6月原油期货价格的波动率作为替代，从Yahoo Finance上下载历史价格处理后即可。 将各项数据代入公式我们可以得到Bachelier模型下期权的价格为：3.0304元，而市场上的交易价格为：3.10元。Bingo！ Bachelier模型在资产价格为负时可以用来给期权定价！并且市场上的投资者就是用此模型进行定价！ 四、和BSM模型相比，Bachelier模型的性质如何？将Bachelier模型的公式输入MATLAB，改变Bachelier的参数来模拟各个参数变动情况对期权价格的影响，BSM模型将使用苹果2020年3月20日到期的股票期权的各项参数进行模拟。 1、期权价格对标的资产价格变化的反应，也就是Delta：

（左边是Bachelier模型，当前价格-703，右边是BSM模型，当前价格为200） Bachelier模型对价格的变动更加敏感，远远没有BSM模型来的“顺滑”。也就是说，当市场价格偏离行权价稍微多一些时，Bachelier模型下的期权价格就和标的资产价格呈线性关系(*)，而传统BSM模型非线性的过程较长，只有深度实值（in the money）的期权才是线性关系。(*) Delta =1时，股价涨一块，期权单位价格也涨一块，基本是线性关系。 2、期权和到期时间的关系：

（图例：OTM是虚值期权（看涨期权行权价大于资产价格），ATM是平值期权（行权价等于资产价格），ITM是实值期权（行权价低于资产价格））
这里没有直接看期权价格和到期时间的关系，因为那肯定是正相关的，这里看的是价格的敏感度（Delta）和到期时间的关系。 在BSM模型下，不论是实值、虚值还是平值期权，Delta都是和到期时间正相关的，时间越长，Delta越大（但是这里的时间纬度已经非常长，右图中最长的到期时间已经到了40年以后，对实际交易已经没有参考意义不进一步阐述了）。但是在Bachelier模型当中，平值期权的Delta是不随时间变化的，虚值期权的Delta是随时间增长而下降的。 相同的一点是，同样长的到期时间下，都是虚值期权的Delta最大，实值期权的Delta最小——这也符合认知：虚值期权受标的资产价格变动的影响更大（投资者更担心深度虚值期权变成废纸，而不是深度实值少赚了钱）。 3、Delta和价格的关系
Gamma是期权价格对股票价格的二次导数，也就是Delta对股票价格的导数，可以理解为期权价格的敏感度对股票价格的反应。不难发现同样是上下400元的价格波动范围，Bachelier模型下更加敏感（和上面Delta的图形一致）。 从一定意义上来说，Bachelier模型下更容易控制风险——BSM模型中股价下跌50%到100元，Gamma和Delta还是正的，期权和资产价格还是非线性的关系，但是Bachelier模型中标的资产价格只是从-700下跌到-750元，Delta和Gamma就直接掉到了0，期权和资产价格是线性关系(**)。 (**) 即使将BSM模型的参数代入，Bachelier模型下Gamma对资产价格仍然更敏感——因为Delta在BSM公式中对资产价格取了对数。 4、期权和波动率的关系：
Vega是期权对波动率的敏感度，BSM模型中Vega对价格的波动类似于正态分布。行权价附近Vega最大，说明平值期权的价格对波动率最为敏感，波动率上升时平值期权价格波动最大。

在Bachelier模型中最显著的区别就是vega是负数（和0）。公式中也可以发现：因为标的资产的价格是负的，因此vega也是负的。只有在行权价附近vega才是0（上图中属于特例，由于波动率过大导致很长一段vega=0），稍微偏离行权价时vega都小于零。也就是说期权价格和波动率是负相关的——这和我们对期权的认知不同：一般来说波动率越大，期权价格越大。 5、Bachelier模型有Volatility Smile吗？使用Le Floch的模型[2]，将4月22日WTI原油期货单月价差期权的数据代入，可以得到以下收益率曲线，说明Bachelier模型仍然有收益率微笑曲线的：

总的来说：Bachelier模型下期权对标的资产价格更为敏感，标的资产价格为负时，波动率越大，期权价格反而越小。

对于同样的标的资产、同样的到期日，平值期权的隐含波动率最小，行权价离资产价格越远、隐含波动率越大。

总的来说：Bachelier模型下期权对标的资产价格更为敏感；期权更容易与资产价格呈线性关系；标的资产价格为负时，波动率越大，期权价格反而越小；平值期权的隐含波动率最大。

利率、大宗商品（虽然只是衍生品）价格都已经实现负的可能性，下一个变成负的会是什么呢？债券价格可能是负的吗？房地产价格可能是负的吗？
部分参考资料：[1] Walter Schachermayer: How Close Are The Option Pricing Formulas Of Bachelier And Black-Merton-Scholes?[2] Fabien Le Floc'h: Fast and Accurate Analytic Basis Point Volatility[3] CME Option Data[4] Cyril Grunspan: A Note on the Equivalence between the Normal and the Lognormal Implied Volatility : A Model Free Approach[5] Satoshi Terakado: On the Option Pricing Formula Based on the Bachelier Model

为追逐而燃烧的你，像极了青年特斯拉|20年的萌生、崩溃与坚挺 A preliminary intoduction to 2019 nCoV 黑石其石互联网银行、虚拟银行及DCEP、Libra 活成一本书那么厚,才会有人读你淘宝大举入股的B站，成腾讯、阿里同时加持稀缺标的你的企业在投资人眼里值多少钱？上市破发，股价血洗，“雷猴王”这次又是闹哪样？

点“在看”给我一个小心心