若f(f(x))=x+1,则f(1)为多少？

热心回应 · 2019-8-18 00:57:24

感觉大部分回答都是在搞笑。
题设并没有給除了等式以外的任何信息，包括定义域，连续性，是否可导甚至解析之类的条件，那就只能单纯的从函数定义出发来解决这个问题。
函数的定义是什么，是数集到数集的映射，也就是每个定义域内的数x都连出唯一一个键头指向另一个数f(x)，这就是f是函数的全部要求。那么条件
意味着什么呢？其实就是从每一个定义域内的
出发，沿着箭头走到
，再沿着
的箭头走下去，刚好就走到
。以上就是全部条件了。
我们先说明
是不存在的。为此我们考虑方程
而
的复数解。易得这样的复数
恰有两个。我们取一个这样的
，思考一下它的意义：
表明从
出发，沿箭头走4步回到自身，并且由
可知，4步是最少的。所以4个数
互不相同，但是它们都是要沿着箭头走恰好4步才回到自身，因此它们都是上述方程的解，这与方程只有2个解矛盾。
下面讨论
的问题，这需要一点几何的感觉。我们把每个实数
连一个有向箭头到
，这样相当于将实数集划分成了（不可数）无穷棵树，单独考虑每一颗树，它的每一个顶点
都指向
，如果
，则没有其他顶点指向
，如果
，则刚好有2个点
指向
，而只有
是个例外，仅有唯一一个
指向它。
现在我们可以看到，除了0所在的树以外，其他所有树的结构实际上是完全一样的（即同构，评论区提到这个结构其实就像一把单向无穷的梳子，非常形象），因此对任两颗不含0的树
，我们可以把它们的顶点作一个配对，使得它们可以点对点，边对边地重合在一块。这样，对
上的点
，我们在
上找到对应点
，让
；对
上的点
，我们找到其对应点
，并令
。这样一来，在这两棵树上，我们就有
了。
那么
怎么解决呢？事实上我们只要解决
就可以了，因为
。还是考虑那些树，设想
位于树
上，并且
。若
，则
所在的树
上有
指向
，且有
指向
，从而可分析得到
，且
，因此
，显然矛盾。同时，显然
。
最后对
，我们令
满足
，且
，则在
上成立
;
对
,我们令
满足
，且
，则在
上成立
。
综上，我们证明了
，且对该区间内每一个
，我们将
与
配对，余下树两两配对，则可得到
的构造。因此答案为
中的全体实数都有可能。

更新：有两个小bug，一是漏了f(0)

热心回应 · 2019-8-18 00:57:25

有人说如果
那么
可以取任意数字。我想了一下，如果
，我认为
至少可以取
中的任意一个数字（这与
可以取
中任意数字是等价的）。我把我的想法写在这，有疏漏之处请大神指出。
为简便起见，我们定义
为对
使用
次
。设
且规定
，注意我们这里只是对
做出了限制，与题干中的性质并不矛盾。
我们可以就此构造一个数列
，即
。我们可以通过如下的方法对于任意
构造一个
。
其实仔细观察的话，这个数列可以拆分成奇数项和偶数项两个数列。而且确定了
，就完全确定了这个数列。我们随便找一个连续的单调递增的函数将
映射至
作为
在
上的定义，那么
在
上的定义可以这样确定：首先对
找到
使得
（因为
在
上连续且单调，由介值定理
必然存在），那么定义
。由
和
在
上的单调性及连续性，不难证明
在
上的单调性及连续性。
以此类推递归地根据
在
的定义构造
在
上的定义，我们就可以构造一个
使得
满足题干的要求。也能看出来为什么在这个讨论的条件下，确定了
和确定了
是等价的。
实数负半轴的定义则可由如下的性质给出（感谢@233）。由题干条件，我们在两边使用
，有
。取
后与原式相减，得
，那么
。又由
（否则
），
为偶函数。
所以我们能够看出，不仅
的选择很宽泛，甚至我们做出选择了以后
还是有非常大的选择余地。

热心回应 · 2019-8-18 00:57:26

请那些来搞笑的人别再污染答案池了行不
下面我来写一个回答.
首先,题目没有说定义域.那我们不妨分类讨论吧.
如果
,那么不存在这样的函数
.
证明如下,译自美国数学月刊,并进行了改编.请MAA不要起诉我:
（加说一句，也有很简单的证明叙述，只不过我下面要写的不仅仅对于该问题有效,也对所有类似
的都有用,更有普遍性.)
约定
对任意
定义
当且仅当存在两个非负整数
使得
很明显,这是一个等价关系.每一个等价类内部以实数为点,若y=f(x)则连一条由x指向y的有向边,如此构成了一个有向图,把这个图叫做函数f的一个轨道图,它是联通的.每个点的出度严格为1.由于等价类有可能不止一个,那么f也可能有不止一个轨道图.
轨道图有两种:循环的和非循环的.一个轨道图是循环的当且仅当它存在一个顶点x满足
,若如此,则称其为循环的.称
,规定圈内点互不相同.且由于圈内点不可能向外指以及轨道图是联通图,因此一个循环轨道图有且只有一个圈.
注意到,非循环的轨道图必然有至少可数无穷多的顶点.
我们想要知道
是怎样从
所生成的.这个很有意思,犹如细胞分裂,让我想起了阿米巴变形虫.
引理1: (1)
的一个2m循环轨道图可分裂为两个
的m循环轨道图
(2)
的一个非循环轨道图,可分裂为两个
的非循环轨道图.
(3)
的一个2m+1循环轨道图,也是
的一个2m+1循环轨道图.只是样子不太一样.叫这个操作变形好了
看图意会一下:(1)所描述的分裂

因此我们知道,
的所有轨道图都是由
的轨道图或分裂或变形而来的.
非循环分裂为非循环.奇循环变形为奇循环.因此偶循环只能由偶循环分裂产生.
即
的一个2m循环轨道图,只能由
的4m循环轨道图分裂而产生.因此,对任意m正整数,如果
的2m循环轨道图的数目是有限个的话,那么一定是偶数个.(废话,都是一分为二形成的)
那么,考虑函数方程
,即
的可解性.由于
,则
的2m循环轨道图就是
的2m循环轨道图,由上结论知道如果是有限个,则必为偶数个.
引理2:对任意正整数m,
的2m循环轨道图,如果是有限个,则必为偶数个
我们的问题是
,是否有解.考虑
的2循环轨道图,求解
得到

.得到
,他们是一阶不动点.而
,因此g有且仅有一个2循环轨道图,这与引理2矛盾!
因此,对于
的情况,该方程无解.

的情况明天再更.

热心回应 · 2019-8-18 00:57:27

@酱紫君的公式只给出了解析解。事实上对于严格增函数
，令
，易知任意两个
和
要么不交要么互相包含。如果更进一步
是连续函数且
，那么每个
都无穷大，且都会包含在某个极大的
中（从
开始迭代
则每一步都会减小但必不存在极限，所以有限步一定停止）。所有的极大的
对应所有的
。
现在任取两个不同的极大的
，总可以将其如下交错：

这样就在
上构造出了
满足
。
所以，对于
，由于
是
的第二个元素，它可以被映射到任何另一个极大
的第二个或第三个元素，换而言之就是
中的任意值。把
搞定后，剩下的任意两两匹配即可。
注意到
在
上必须是单射，因为如果
则
。因此用同样的思想容易证明
是全部的可能性。

热心回应 · 2019-8-18 00:57:28

On the functional square root of x^2+1一个函数的半迭代如果存在, 那么可以写成:

公式给你了你自己算吧....
如果你只是想知道大概长啥样的话, 我们可以找个函数近似:

图拉大了搞的好像
一样, 但是实际
, 整个函数都比原来小

Update: 20190815
卡勒曼矩阵不靠谱吧, 一个龙格直接玩完

若f(f(x))=x+1,则f(1)为多少？

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