GARCH-M模型：收益率、波动率和GARCH的关系

在之前的文章中，我们用AR/GARCH模型拟合标普500指数基金对数收益率的时间序列。有时候，我们还可以用条件标准差作为模型的自变量。也就是说，如果模型的因变量是对数收益率，由于它和风险成正比，那么收益率会随着条件波动率的增加而提高。

把条件标准差作为自变量的模型就是GARCH-M模型。它可以表达为

其中a_t是GARCH过程，它的条件标准差为sigma_t。在GARCH-M模型中，矩阵Xt中的元素和sigma_t是自变量，gamma和delta是回归系数。Xt中包括观察值，而sigma_t的数值却需要估算。

图1为标普500指数基金2011年1月3日到2019年7月3日的价格走势。很明显，这不是一个平稳过程。

图1.标普500指数基金价格

我们再来看一下它的对数收益率，如图2。标普500指数基金每日对数收益率看起来稳定很多。除了2011年，2015年和2018年发生了几次大波动以外，大部分时间的标普500指数基金每日对数收益率在-0.03到+0.03之间。

图2标普500指数基金每日对数收益率

我们把标普500指数基金每日对数收益率作为自变量，用SAS做GARCH-M分析，得到的结果见表1。

表1.GARCH-M参数估计

delta的估算值为0.1795，标准差为0.0678，由于p值很小，统计显著，因此我们可以拒绝=0的原假设。可见高波动率对应着高收益率，这符合我们的预期。

这个例子虽然简单，但是复杂的问题往往就是很多简单问题的组合。解决简单问题是解决复杂问题的基础。

GARCH-M模型：收益率、波动率和GARCH的关系

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