周波动率为什么等于日波动率乘以5的平方根？

如上图，日波动率是根据对资产的日对数收益率（C列）求标准差得出的。这没有问题。但是后面指出：“那么每月和每周的价格波动率是多少?一年里有52周，每周有5个交易日，，因此用3.03%乘以5的平方根就得出每周的波动率6.78%。”
----------------这一点就有点不解了。如果要求周波动率。应该先求出资产的周对数回报率，然后再求标准差吧。为什么直接用日对数回报率*5的平方根就可以了呢？请各位老师指教！

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:08

这...

（周度收益是日度收益的加和。严格意义上这里的 Return 都是对数收益）

（方差可加。每日的收益是不相关且同方差的）

（题主想要的结果）
这也是为什么年化波动率要乘以根号下 252 （一年的交易日数目）。波动率总是以
的倍数扩展的。
题主后面提到了挺多问题，这里修改答案帮题主一并理顺下我们到底在计算个啥玩意。
这个问题虽小，其实隐含了整个统计估计的核心逻辑。理解这个问题的正确姿势是不要单纯从数字的角度理解这里的推导，因为上面的所有推导其实都不是数字间的关系，而是随机变量间的关系。
第 i 天的收益率我们记为
。这里的
并不是一个数字，而是一个随机变量。通常我们做如下假设：
。这个假设称为独立同分布假设（简写做 i.i.d.）。（注意这只是个理想上的假设，我们最后再重新审视这个假设）。
至于我们看到的具体数字，在概率论的世界里，只是从这个
分布里随机出来的一个样本，我们把这个过程叫做“实现”（Realize）。每一个实际观测到的数字的具体是多少，应该理解成上帝对着这个
分布掷骰子的过程。按这个思路，在 Excel 里面我们看到了 936 个数字（收益率），正确的理解姿势是当成从同一个概率分布里面进行 936 次抽样的结果。
回到问题，到底我们所说的“日波动率”是什么？你可能会说是这 936 个数字的标准差。其实错了，真正的“日波动率”是
里的这个
，是分布的性质，而不是样本的统计量。对 936 个样本算标准只是对这个
做一个估计量（Estimator），以样本标准差来推断估计这个整体分布的标准差是多少。
好了，如果这个清楚了，我们再看看
的“波动率”到底为啥是日波动率的五倍。首先
，这一点没有争议。但一定记得，我在式子里面讨论的仍然是随机变量间的关系。那我问你，既然真正的波动率是随机变量分布的性质，那
服从什么分布？
按正态分布加正态分布还是正态分布的原理，
一定还是正态分布。那它的均值、方差是什么？均值是
，不解释。关于方差：

为什么这个式子成立？是因为我们假设了
之间 i.i.d。有两点：
（1）其实本来正常的方差分解里面后面还有一堆协方差项的，但因为“独立”，所以所有协方差项都被干掉了（都是 0 ）；
（2）因为同属
（同分布），所以方差都是
。
所以，
。我们既然用 936 个日度样本的标准差估计出了
，那么必定直接乘以根号5就是
的标准差。
最后，"独立同分布"到底是不是正确的假设？确实不一定是，但没有独立同分布，我们很多事情就很难办了。你确实可以假设
之类乱七八糟的关系，然后重新推导一遍，但那就很让人头大了。以及，你的这个新假设真的更符合事实吗？
不过好在，实证表明最简单的独立同分布假设还是相当符合现实的。

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:09

大学概率教材上的方差可加性公式，想想D(x+y)等于什么。。。

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:10

周波动率的最真实算法就是用周度的收益率计算标准差。缺点是，周度数据的数据量可能不足，估计误差可能比较大。
日度波动率乘以根号五是一种近似算法，这种算法假设了日度收益率是独立同分布的随机变量，某些情况下这种假设是不符合真实情况的。

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:11

简单说股价是交易驱动的，一周五个交易日，并且波动率符合平方根法则，维纳过程只是一种假设，不需要用到维纳过程也能成立的。

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:12

前几天就看到邀请了，来晚了，最近有点忙，虽然是寒假不过还是各种事。。。
说的具体一些可能要涉及到维纳过程，我尽量简单解释一下。
[h1]通俗版本的解释：[/h1]你把每一天的收益率都当成一个独立同分布的随机变量X，那么一周的收益率Y不就是这独立的五天的收益率之和？
那么周收益率的方差就是D(Y)=D(5*X)=5*D(X),所以s（Y）=根号（5）*s(X)。
[h1]维纳过程的解释：[/h1]如果一般认为，股票价格的变化服从广义维纳过程：
(其中
~N（
））
那么通过推导（如果有需要，我会在这补充推导过程），我们可以得到收益率的分布如下：

~
，所以我们知道收益率的方差是带有T这个因子的。所以标准差是乘以根号（T）

周波动率为什么等于日波动率乘以5的平方根？

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