高等数学中学泰勒公式，感觉几何意义很模糊，怎么理解？

只知道该怎么用，知道它可以用来逼近原函数，但不知道每一个阶层项的意义是什么？比如f''（x0）（x－x0）╱2!是什么几何意义？

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:40

谢邀.

分析层面的就交给其他大神讲吧，我从多项式空间的角度讲讲：
设
是
上次数不超过 n 次的多项式空间. 每个多项式都可以表示为
中一个点，比如——

考虑微分算子
在上面这组基下的矩阵：
因为

于是

熟悉 Jordan 矩阵的人自然会考虑另外一组基：

在这组基下的微分算子的矩阵：
因为

所以

更一般地，若考虑空间
的微分算子有：

而对于 Jordan基 ——

还没完，继续利用多项式
，

我们看矩阵的每一列（行），都是泰勒各阶展开，而对于一般的 n 次可微函数的 Taylor 展开，只是对上面思想的一种推广：将一个解析函数用空间的一组 Jordan 基来分解.

怎么样，是不是感觉更模糊了……

由于良心的愧怍，我觉得我应该再解释解释:
由上面的分析可知，Taylor 展开实际上是对一个 n 次可微的函数的一种分解，那么有人会问——
分解只有这么一种方式吗？

当然不可能只有一种分解方式，每当我们找到一组不同的基，就能找到一种分解方式。于是紧接着问——

既然有那么多的基可供选择，那么选择 Jordan 基来分解有什么特别的好处？

其实我的回答一开始就已经显露出 Jordan 基的优点了。学过高等代数就知道 Jordan 基的优越性，它可以将任一个线性变换（矩阵）庖丁解牛般地分解为准对角矩阵（如果矩阵可对角化，那就是对角矩阵），一个线性变换的全部信息将如初出浴之美人一览无余：它的秩是多少，谁是它的特征向量、准特征向量，它的象空间是如何被直和分解为若干不变子空间的……这些它都可以回答。当然，最重要的是简洁而有效，Jordan 矩阵的计算实在太友好了，算过矩阵的人都明白她的好。
如果用的是其他的基来分解，你很难想象 f(x) 的各阶导数如后宫佳丽般款款而立，教郎恣意怜（为所欲为）吗？不会，等待你的往往是一个极其复杂、毫无无意义、丑陋的

……矩阵。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:41

较早出现的展开的例子是芝诺(约公元前490-前425, 意大利哲学家)有关运动的悖论之一，二分法，在亚里士多德写的《物理学》中被这样描述到：“移动是不可能的，因为在移动到终点位置之前，必须先移动到原位置与终点位置的中点处”。

复杂函数展开的目的和方法
1.墨卡托级数
历史上有一个著名的用多项式函数表示一个函数的例子，是墨卡托级数：

墨卡托通过计算双曲线
与
轴围成的，从0到
的图形的面积得到这个表达式。

把区间
划分为n个相等小区间，每个小区间的长度
，构成n个小矩形，如图所示，小矩形的高依次为
则所求面积
现在将每个小矩形的高展开为几何级数，我们知道，对于几何级数

当
时，由于
，从而
则

那么

卡瓦利里于1635年在他的书《几何学中不可分割的连续量》(Geometria indivisibilis continuorum)中首次发表了一个结论：
代入上式，得

而A是函数
在0到x之间的积分,即

由此可知，对数函数
展开，是对平面图形求面积的结果。
2.实际问题中的函数
,有的表达式很复杂，有的甚至给不出表达式，只能通过某种测量方法得到一些离散的自变量-函数值对；一个很自然的想法就是，如何将
用某个函数 P(x)近似表示?
选择哪种函数类型P(x)来近似代替f(x)是我们首先需要考虑的问题，如果测得f(x)上的两个点
对应的函数值
，我们可以用线性函数
近似代替函数 f(x )

用点斜式表示

定义
为f(x)在
处的一阶差商，则称
为一次牛顿线性插值函数。
用两点式表示
记
为一次插值基函数，则

为一次拉格朗日线性插值函数。
如果f(x)在开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，相异的点
都在[a,b]上，不妨设
，且x是[a,b]上一点，由于f(x)很复杂甚至数学表达式未知，我们希望构造另外一个函数P(x)，使得
，用 P(x)近似代替f(x)。为了便于叙述，通常称区间[a,b]为插值区间，点
为插值节点，函数P(x)为插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
利用插值法，差商的定义，性质，罗尔定理，最终得到

其中

根据差商的定义，
，
中，n是几，就表示在
与
之间插入了几个点，插入的点越多，该函数的曲线与原有曲线就越接近，如果不插入点，就是用一条直线的函数代替，插入1个点就是两条折线，以此类推。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:42

用多项式这个容易研究的模型去近似（拟合）原先那个复杂的不容易研究的函数

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:43

一句话说的话，泰勒公式其实是一个无限叠加的泰勒中值定理。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:44

几何直观上本来就只能最多看到二到三阶导数

高等数学中学泰勒公式，感觉几何意义很模糊，怎么理解？

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