关于数学竞赛不等式，说说你所知道的？

我是指有没有一些你们所知道的一些学习竞赛不等式的一些方法和技巧

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:32

不等式学得并不算好…来强答一发。
二试出的不等式涉及到的知识点不会很多。一般情况下熟练掌握均值不等式，柯西不等式，切比雪夫不等式，排序不等式（注意：会用和熟练掌握是两码事！），心里有调整、磨光变换的意识（但如果卡住尽量不要硬算硬调整，极易陷入死胡同消耗大量时间），有齐次化、标准化（注：标准化就是所谓“不妨设x+y+z=某个常数”，要求分式上下每项齐次）的意识，会一点求导的小伎俩（不强求），略懂一点琴生、赫尔德（权方和）、伯努利或是幂平均之类，就绰绰有余了。
均值不等式…略过了好吧。一般都是根据取等条件拆项，没什么好说的。此外，一定要熟练掌握柯西求反技术（可以理解为通过拆项手段改变不等式方向）。
排序不等式嘛…没什么好强调的。一般不是主要放缩手段（极度容易放过头），但常常负责一些善后收尾工作。如果完全不会那基本上所有的不等式处理起来都会有困难。
而柯西不等式可以说是二试不等式放缩的核心。如何利用柯西不等式通分，如何利用一定的代数变形改变柯西不等式使用后不等号的方向（主要手段：把原来直接用柯西不等式方向反掉的每项拆成两项差，对负号后的内容进行柯西不等式。或者把原来会放过头的每项进行一些代数变形然后利用柯西不等式通分，使得分母变成定值），都是必须会熟练运用的。
近来比较流行三元对称不等式。如果对于柯西不等式的功底不自信，去科普一下舒尔不等式和米尔黑德定理。三元对称不等式总可以通过暴力通分，再利用以上两项知识一点点消项解决（当然也有题目会设置些针对此方法的已知条件，典型条件为x、y、z的n次方和为常数）。仅在时间宽裕的情况下考虑使用，否则可能得不偿失。
大致觉得自己已经熟练掌握以上内容，可以尝试一个问题。
x、y、z均为正实数。x^5+y^5+z^5=3。
求证x^4/y^3+y^4/z^3+z^4/x^3≥3。
能够在短时间解决掉，我个人看来二试中档难度的不等式已经很难对你造成阻碍了。
二试压轴/CMO中档的不等式…我个人水平有限不敢妄答。感觉上涉及到的高级手段也就主要多了三角换元和n维向量换元，再就是闵科夫斯基不等式。对于一些特殊的题目类型有特殊的处理手段（eg.带绝对值的不等式，或者结合数列知识的不等式）。对于赫尔德、琴生、幂平均、伯努利之类的要求也更高。我自己也玩不转。将来如果能杀进上海省队再来补吧hhh【强立死亡＆挖坑不填flag】

以下内容更新于2018/4/1：
补一些经验之谈。
通常调整、磨光变换在四元不等式中有奇效，在取等条件奇奇怪怪的三元不等式（譬如限定某两项相等第三项是0之类）中也有奇效。
齐次化可以有效利用形如x+y+z=某个常数的条件。如果能够把一个轮换式配成齐次，可以说这样的条件就已经完全利用上了，不必再对此进行别的代换也不需要配常数改变次数了。能够一定程度上减少思维难度。
而标准化是齐次化的逆向操作。一般都伴随着局部法，着眼于把根号下/分式线下的对称式开出来以简化式子。优点是可以把式子变得很好看，缺点是次数又变得不齐了。可以一定程度上减少计算难度。
二者各有优劣，诸君请自行取舍。

不等式放缩时常伴随着诸如“放过头”的问题。
一般情况下的常见进阶不等式（我勉强玩得转的不等式）放缩尺度如下：
求二阶导琴生#爆算流#＝推恒等（如爆展式子、代数代换、pqr法#爆算流#、SOS法#爆算流#、柯西求反等）＜舒尔配次#爆算流#（一个大坑，需要背一些结论且通常需要大量计算，但放缩精度极高）＜切比雪夫＜幂平均＜柯西＜赫尔德＜排序不等式＜直接把一项扔掉
如果放过头了，往前退一步或可寻得生机。
最后一个看起来很垃圾，但在已知条件齐次对称但待证结论齐次齐系数不对称的情况下有奇效。

最后，在知识掌握得差不多的情况下，提升证不等式水平主要靠提升推恒等式水平。越是难题，这一能力就越重要，因为它的精度最高。用我教练的话来说，“困难的不等式有两种解法，一种是基本不等式，一种是基本功不等式。”

推荐一本参考书。《不等式的秘密》，【越南】范建熊。这是一本教你用有限的知识解决尽可能多的不等式的书。柯西求反、切比雪夫联合技术这两章强烈好评。
高继扬当年也做过哦w

进了省队再来更新哦√
未完待续。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:33

买本有关竞赛的不等式书不就行了至于技巧贴几道不等式试题吧，都是不等式高手给出的证明。
齐次化

均值不等式的应用

权方和不等式

根据指数运用基本不等式放缩

反证法

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:34

娃的初学，总结一下

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:35

珠峰不等式
还有特别想说的我们老师的
石长伟不等式……
他不玩社区吧( `)*

……其实已经超越了高考的范畴了
你可以关注他的微信公众号[石长伟数学]
里面有他原创的贴近高考的题和解法
祝题主的成绩越来越好( `)*

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:36

琴生不等式

权方和不等式

赫尔德不等式

闵可夫斯基不等式

伯努利不等式

舒尔不等式

切比雪夫不等式

马尔可夫不等式

契比雪夫不等式

卡尔松不等式

外森比克不等式

克拉克森不等式

yu不等式

施瓦尔兹不等式

卡尔松不等式

erdos不等式

Milosevic不等式

等周不等式

芬斯拉不等式

嵌入不等式

杨氏不等式

车贝契夫不等式

马尔可夫不等式

典范类不等式

佩多不等式

四边形不等式

肖刚不等式

Arakelov不等式

卡拉玛特不等式

外森比克不等式

宫冈-丘不等式

Gronwall不等式
（以上由猥琐的我引自百度百科）

关于数学竞赛不等式，说说你所知道的？

5 个回复