Chapter4：波动率

4.1 随机游走和正态分布

高尔顿挡板试验：高尔顿板为一块竖直放置的板，上面有交错排列的钉子。让小球从板的上端自由下落，当其碰到钉子后会随机向左或向右落下。

小球穿过各层钉子落入迷宫的下落路径被称为随机游走（random walk）。如果下落的小球足够多，那么最后我们得到的小球的分布就是正态分布。

数学上的定义，我们假设令X_k表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左或向右落下这一随机现象相联系的随机变量(X=1表示向右落下，X=-1表示向左落下)，由题意，X_k的分布列可设为下述形式：对k=1,2,\cdots
P(X_k=1)=P(X_k=-1)=\frac{1}{2}  。令：
  S_n=\sum_{k=1}^nX_k, \\
其中X_k(k=1,2,\cdots,n)相互独立，则S_n表示这个小球第n次碰钉后的位置。试验表明S_n=\sum_{k=1}^nX_k近似地服从正态分布。这个的结论的支撑理论是中心极限定理：  Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \sim N(0,1)\\
其中 E[X_i]=\mu, Var[X_i]=\sigma^2 。
我们现在假设小球的向左向右视为标的价格的上涨或者下跌，小球向下运动视为时间流逝，那么最终小球的分布就是标的合约价格在到期时的分布。

低波动率分布

高波动率分布

不同价格分布曲线都是对称的，看起来似乎波动率增加并不会影响期权的价值。这是因为，波动率增大尽管增加了价格向上变动的概率，但也同时增加了价格向下变动的概率，两者会相互抵消。但实际上，期权头寸与标的资产头寸相比有很重要的区别。标的合约的预期收益取决于所有可能出现的价格结果，而期权的预期收益只取决于可以使期权变为实值的标的合约的价格结果。其他价格结果都不起作用。

可以看到对于这三种波动率的分布，假设我们想要估计一个具有较高行权价格的看涨期权的价值，那么看涨期权的价值取决于行权价格右侧分布的数量。这样我们可以直接就看出从低波动率分布向高波动率分布变化时，更多可能出现的价格分布在行权价格的右侧。这样，期权的价值就会越来越大。
4.2 均值和标准差

这个小节我们想讨论的是均值和标准差的实际含义。
均值我们很好理解，这是一个平均结果的含义，如果我们把所有的结果相加并除以发生的次数，那么结果就是均值。
标准差不仅描述了分布曲线展开的速度，它的具体数值还告诉了我们价格落在某个区域的概率信息。以下的近似值经常用到：

\pm 1 倍标准差大约覆盖了68.3%(约为2/3)的结果。
\pm 2 倍标准差大约覆盖95.4%(约为19/20)的结果。
\pm 3 倍标准差大约覆盖了99.7%(约为369/370)的结果。

书中还举了一个赌博的例子：我们假设 \mu=7.50, \sigma=3 ，如果有人提出30：1的赔率赌球会落到 14\sim15 ，我们值得打这个赌吗？标准差的一个特点就是可加性。这个例子中，一倍标准差是3，两倍就是6，那么距离均值2倍标准差的区间就是 7.5\pm6 ，即 1.5\sim13.5 。由于一个取值落在2倍标准差之内的概率是19/20，那么落在2倍标准差之外的概率就是1/20。那么30：1的赔率听起来好像是很合适的。但是考虑到正态分布是两边对称的，落到14~15这个区间只是两倍标准差之外部分的一半，所有概率应该是1/40。那么30：1的赔率就不是一个好的选择了。
4.3 远期价格作为分布的均值

我们并不能明确知道价格未来的分布情况，但是如果我们假设标的合约是没有套利的，那么标的合约的远期价格就是一个合理的猜想。各种不同的形式的BS模型的不同点之一就是如何计算远期价格。
4.4 波动率作为标准差

先给波动率一个直观的定义。假定输入定价模型的波动率代表在1年的时间里一个标准差的价格变化，用百分比表示。例如，考虑一个1年后的远期价格为100的合约，它的波动率是20%。这表示我们认为1年后这个合约将以68%的概率在 80 \sim 120(100\times(1\pm 20\%)) 之间的价格交易，将以99.7%的概率在 40 \sim 160(100\times(1\pm 3\times20\%)) 之间交易。
4.5 按时间衡量波动率

波动率和利率一样，波动率默认是用年化的数值表示的，那么对于短期的波动率，我们期望年化波动率能告诉我们什么呢？我们有如下的公式来考虑波动率与时间的关系：
波动率_t=波动率_{年}\times\sqrt{t} \\ 这个公式的通俗的解释：我们如果把每天的对数收益率都当成一个独立同分布的随机变量X，那么对于N天的收益率，其方差就是 Var(\sum_{i=1}^N X_i) = N\cdot Var(X) ，所以 Std(\sum^N_{i=1}X_i) = \sqrt{N} \times Std(X) 。
用布朗运动解释：一般假设股票价格满足 \frac{dS_t}{S_t}=\mu dt+\sigma dW_t ，则我们有 \ln\left(\frac{S_T}{S_0}\right)\sim N(T\times (\mu-\frac{\sigma^2}{2}),T\times \sigma^2) 。