一、T检验的思路
举个例子：假设X公司有两块土地：土地A采用A方案进行种植，平均每株可以结100g的农作物。土地B采用改进的B方案种植，公司想知道“B方案是否比A方案好，能提高农作物产量”。为了减少测试成本，假设只从B方案的土地中采样了5株农作物，样本均值为120g。从结果上看，似乎产量提高了，样本均值增加了20%，但是我们可以这样认为吗？
二、 分析：
现在提出假设检验：
- 假设：B方案没有提高产量，即AB方案是同一个分布
- 检验：在此假设下，
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发生的概率高不高
已知的数据是，A方案下的农作物的产量服从
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,标准差
未知的正态分布：
而B方案下的农作物的产量的样本均值
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，样本数为5。下图为不同的均值、标准差对应的正态分布的图像：
标准差越大，说明数据越分散，那么曲线的跨度就越大，曲线显得更加‘矮胖’；反之标准差越小，说明数据越集中，跨度越小，曲线显得更加‘高瘦’。
X如果服从正态分布
这里
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，
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。
采样5个点使其
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图像如下：
由此可见，那5个样本属于
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的分布概率非常低。即A、B方案是同一个分布的可能性不大，我们有很大把握可以认为B方案比A方案好，能提高农作物产。
而如果X服从的是跨度更大的正态分布，采样5个点使其
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的图像如下（为了演示，正态分布的参数选的不是很严谨）：
这样的正态分布，那5个样本属于
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的分布概率并不低，即A、B方案还是极大可能为同一个分布的。因此，看起来不能单纯依靠均值100，120比较出 “B方案比A方案好，能提高农作物产”。
下面我引出统计量T值：
我们不能单纯依靠
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来判断，但是可以除以样本标准差 s可以消除跨度的影响：
因为A方案的
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， 我们不清楚，但是我们假设AB同分布，所以直接使用了标准差 s。当然，样本数 n 也会影响结果。比如说，在 n =1000 下，得到
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，那么根据大数定理，我们不用算了，基本上可以认为“B方案比A方案好，能提高农作物产”。
所以，认为应该综合考虑 样本均值
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， 另一个整体样本均值
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、样本方差 s（这个方差s指的是均值
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的方差） 和样本数 n（样本均值
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的样本个数） ，给出了一个统计量t值的计算公式：
t值越大说明B方案比A方案越好。
三、T分布
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，其中 样本均值
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， 另一个整体样本均值
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、样本方差 s（这个方差s指的是均值
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的方差） 和样本数 n（样本均值
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的样本个数）。 对应的概率密度函数，也就是t分布为：
其中
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叫做自由度。而
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为伽马函数（gamma）。
f(t)接近于标准正态分布，灰色曲线表示正态分布，蓝色是
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的t分布
t值对应的就是横坐标的值，假设t值等于4的话，那么t=4之后的曲线下面积其实就是P值:
所以，我们计算出t值之后，就可以根据
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以及要求的P值，查出当前的t值是否会拒绝我们的假设。
这里举一个例子，比如本文中的AB方案下的数据为：
计算出来：
服从
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的t分布：
如果我们要求 5% 的显著水平的话，因为p值为0.01，所以可以拒绝“B方案没有提高产量”这个假设了，也就是说，B方案使得产量提高了。
但是通常P值我们是无法计算的，所以要查T分布表，根据假设已经知道
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，
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(95%的置信度)。查表链接 （或者见本文末尾）t为2.776。计算出来的t值为4，并且4>2.776。查表知上图中黄色线的位置为t为2.776处(p值为0.05)。所以计算出来的t值在查表t的右侧，所以P值小于0.05，拒绝假设，B方案显著提高产量了。
四、T检验的用途
1）单样本t检验（样本均数与总体均数的比较）
样本均数与总体均数的比较的t检验，即单样本t检验。比较的目的是推断样本所代表的未知总体均数μ与已知的总体均数
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有无差别。
2）两样本均数的比较
有三种类别：
a、两个样本均值比较是将受试对象按一定条件配成对子，配成对子的同对受试对象分别给予两种不同的处理，其目的是推断两种处理的效果有无差别。
b、同一受试对象分别接受两种不同处理，其目的是推断两种处理的效果有无差别;
c、同一受试对象处理前后的比较，其目的是推断某种处理有无作用。
五、T分布的特点
（1）t分布为对称分布，关于t=0对称，只有一个峰，峰值在t=0处，与标准正太分布曲线相比，t分布曲线顶部略底，两尾部稍高而平。
（2）t分布曲线受自由度影响，自由度越小，离散程度越大。
（3）t分布的极限是正太分布，自由度越大，越接近标准正太分布。
（4）当n>30时，t分布与标准正太分布的区别较小；当n>100时，t分布与标准正太分布基本一致；n接近无穷时，t分布与标准正太分布完全一致。
（5）t分布适用于n小于30的场景。
六、例子
1）单样本t检验：
大量检测已知正常人血浆载脂蛋白E(apo E) 总体平均水平为4.15mmol/L。某医师经抽样测得41例陈旧性心机梗死患者的血浆载脂蛋白E平均浓度为5.22mmol/L，标准差为1.61mmol/L。据此能否认为陈旧性心肌梗死患 者的血浆载脂蛋白E平均浓度与正常人的平均浓度不一致?
第一步：建立检验假设和确定检验水准
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：
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：
第二步：选定检验方法和计算统计量
用单样本的t检验
自由度ν=41-1=40
第三步：确定P值和作出推断结论
查t界值表，查表得t1=2.021，t=4.26 > t1，P<0.05。按α=0.05，拒绝H0，接受H1，
认为陈旧性心肌梗死患者的血浆载脂蛋白E平均浓度与正常人不一致。
这里说一下：为什么t=4.26时，P<0.05。
如下图所示：当
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=2.021时，
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为0.05。计算后的P值为4.26，在2.021的右侧，右侧面积小于0.05。
这里说一下：为什么t=4.26时，P<0.05。
如下图所示：当
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=2.021时，
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为0.05。计算后的P值为4.26，在2.021的右侧，右侧面积小于0.05。
2）两样本均数的比较（c）
胃癌或巨型胃溃疡13人， 在实行全胃 切除术前后的体重(kg):试比较手术前后体重有无变化?
序号 手术前手术后手术后、手术前差值
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：
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：
手术后、手术前差值的和为56.2
手术后、手术前差值的标准差
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为6.867
查t界值表，查表得t1=2.179，t=2.27> t1，P<0.05。按α=0.05，拒绝H0，接受H1，
认为手术前后体重有差别。
其他讲解，百度文库
[图文]统计学正态分布及t分布 - 百度文库wenku.baidu.com
参考：
t检验(t test)_人工智能_Tonywu2018的博客-CSDN博客blog.csdn.net
T分布表
t分布统计表 - 百度文库wenku.baidu.com
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