请教大神二元函数是在三维空间里，那三元函数又是在几维空间里呢？

有关回应 · 2021-5-30 16:48:25

首先，“二元函数在三维空间里”表意不当，因为三维空间只是我们用以可视化二元函数的工具，没有“二元函数在三维空间”这种说法。进而地，“三元函数在几维空间”并不是一个恰当的问题。
分清楚两个概念就能想通这个问题——映射与映射的可视化。相互间具有映射关系的变量可以有很多种类，比如以数为基本元素的有序集(如
维数组)，以及函数空间(如泛函
就是从函数空间到一维数的映射)等等。

一元函数
是一维数组至一维数组的映射，可以由一个二维数组
表征，对应的可视化方式可以用二维空间，坐标系可以是笛卡尔坐标系
(轴可以不正交)也可以是极坐标系
等，具体概念可以是向量、复数、坐标点等；
二元函数
是二维数组至一维数组的映射，可以由一个三维数组
表征，对应的可视化方式可以用三维空间，坐标系可以是笛卡尔坐标系
、球坐标系
以及柱坐标系
，具体概念可以是向量、三元数、坐标点等。
三元函数
是三维数组至一维数组的映射，可以由一个四维数组
表征，但其对应的可视化方式不适合使用四维空间，因为根据经验并受限于人类的思维模式，四维空间本身难以被直接可视化。具体概念可以是向量、四元数等。

于是我们的问题是将对象尽可能在低于四维的空间中可视化。方法实在太多了：

举例
将其转换为二维数组至二维数组的映射，可以构造二维空间中的向量场，箭头始末分别对应着坐标，以表示这种映射关系；
将其转换为一维数组到三维数组的映射，可以构造一个动态的三维空间，其随着一维数组的量的变化而变化。实际上，这也是物理中经典运动学的核心内容，即建立类似参数方程
的可观测体系；
然而不转化问题的话，也就是将上方关系颠倒过来而已，即
。
甚至可以仍然使用三维空间，并将定义域表示的三维区域内的点都标记颜色，用颜色表示剩下的一维数组……

总之，映射本身不具备任何空间概念或直观几何所伴随的性质。可视化的产生是因为人类对具象图形的天生性依赖。因而，诸如“
元函数在
维空间”的说法及问题是不妥当的。
另外，在现代计算机技术蓬勃发展下，诞生了一种个人比较喜欢的新的可视化方式——投影转换动画，比如将参数方程
视作二维平面到三维曲面的转换，这种方式可以使用计算机实现出来(见 3blue1brown)，而在此之前，这种关系也是可以直接使用三维空间表征的。

有关回应 · 2021-5-30 16:48:26

二元函数的图像需要画在三维空间里，是因为函数值也要多出来一维。
按照这个说法，三元函数图像自然要画在四维空间里。只不过我们画不出四维图像。
因此，通常情况下我们会利用其他方法来描述更多变量的函数。

有关回应 · 2021-5-30 16:48:27

3维空间其实已经足够表示三元函数了，这个函数表示一个物体在一点的密度。

我们这样想，把物体的一小块挖出来，这一小块包含
这个点。
称量这一小块的质量，用m表示；称量这一小块的体积，用V表示。
那么根据密度的定义，这一小块的密度ρ可以这样表示：

我们可以挖得越来越精细，挖出来的一小块越来越小，但是却一直包含
这个点。
最后我们不能更小了，已经只剩下
这点了，我们再称量这点的密度。
这点的密度就等于三元函数在这点的值
对每一个点，我们都能这样做

有关回应 · 2021-5-30 16:48:28

emmm，您的意思应该是z=f(x, y)，在三维空间中，利用了z轴的坐标（图形的高度）把抽象的函数具体化了出来。
按照一般思维的话，p=f(x, y, z)应该需要四维空间表示咯，但实际上普通人难以想象出四维空间图像，那换个方法呗，给那个点加颜色，用颜色的深浅表示对应的函数值。

请教大神二元函数是在三维空间里，那三元函数又是在几维空间里呢？

4 个回复