如何通俗地解释泰勒公式？

能不能用通俗的语言解释下什么是泰勒公式。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:03

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
先来感受一下：

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设
是一个正整数。如果定义在一个包含
的区间上的函数
在
点处
次可导，那么对于这个区间上的任意
都有：
，其中的多项式称为函数在
处的泰勒展开式，
是泰勒公式的余项且是
的高阶无穷小。----维基百科

泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果
的话，就是麦克劳伦公式，即
，这个看起来简单一点，我们下面只讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。
1.多项式的函数图像特点

展开来就是
，
，
这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。

可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于
轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。

那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？

怎么才能让
和
的图像特性能结合起来呢？

我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

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通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心（虽然是隐函数，意思一下）：

2.用多项式对
进行逼近

是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有
就是这么任性。

增加一个
看看。

增加一个
看看。

可以看出，
不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近
。并且
越大，起作用的区域距离0越远。
3.用多项式对
进行逼近

是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。

。

同样的，我们再增加一个
试试。

可以看到
在适当的位置，改变了
的弯曲方向，最终让
更好的逼近了
。
一图胜前言，动手看看
的展开吧：

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4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系

拉格朗日中值定理：如果函数
满足，在
上连续，在
上可导，那么至少有一点
(
)使等式
成立。----维基百科

数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：

这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项
我们一直没有提。
余项即使用泰勒公式估算的误差，即
余项的代数式是，
，其中
。是不是看着有点像了？
当
的时候，根据泰勒公式有，
，把拉格朗日中值定理中的
换成
，那么拉格朗日中值定理根本就是
时的泰勒公式。
结合拉格朗日中值定理，我们来看看
的时候，泰勒公式的几何意义：

当
的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么
呢？
这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。
还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？
5.泰勒公式是怎么推导的？
很多同学看到这段时，可能有点看不懂，我在牛顿插值的几何解释是怎么样的？ - 社区，这个回答里尝试重新作答了。
根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。

如上图，把曲线等分为
份，分别为
，
，
，
，令
，
，
，
。我们可以推出（
，
可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：

也就是说，f(x)全部可以由
和
决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限
，就可以推出泰勒公式。
6.泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如
，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时
会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到
，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了...”。但是
阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”----《微积分之倚天宝剑》

泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把
进行泰勒展开进行计算的。
泰勒公式还可以把问题简化，比如计算，
，代入
的泰勒展开有：
，其中
是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小，
。解题神器有没有？
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何通俗地解释泰勒公式？

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:04

如果你对于高等数学有一定的心得，请忽略此答案。
如果你是刚刚学习高等数学，接触到了泰勒公式，请继续看下去。

让我们避开繁琐的推理，从曾经学过的知识慢慢了解泰勒公式。
在高等数学的课程上，高数老师出了几道运动学的习题。
① 一小滑块以
的初速度，从

处运动(以向右为正方向)，求
s时小滑块的路程
。
坐在台下的你拍腿大叫so easy，以迅雷不及掩耳之势写下了第一题答案。

② 一小滑块以
的初速度，
的加速度，从

处运动(以向右为正方向)，求
s时小滑块的路程
。
不难！高中也学过的样子！

③一小滑块以
的初速度，
的初加速度，
的初加加速度，从

处运动(以向右为正方向)，求
s时小滑块的路程
。
初加加速度？什么鬼，就是加速度对时间求导吧，好像也不难。

好了让我们停下这简单枯燥的物理题，把结果放在一起看一下有什么规律。
①

②

③

似乎发现了那么一点小意思，再让我们稍微改变一下③中第一个式子的形式。

这个时候，高数老师又出了一道新的题。
④一小滑块以
的初速度，
的初加速度，
的初加加速度，
的初加加加速度，
的初加加加加速度……从

处运动(表征了一个小滑块任意运动的情况)(以向右为正方向)，求
s时小滑块的路程
。
好像以你的智力并不可以想明白这个道题怎么写，不过不怕，你可以找规律。

让我们根据①②③中
的导数情况把
,
,
,
等换成与
有关的式子。

等等，好像这个公式在哪里见过。
泰勒公式：

你无意中居然推导出了“泰勒”公式，让我们仔细看一看“推导”的过程。
匀速直线运动是泰勒公式
的情况。
匀加速度直线运动是泰勒公式
的情况。
……
一个任意的运动是泰勒公式
的情况。
开动我们机智的小脑瓜，总结一下上面的情况。
泰勒公式可以把一个可导的函数拆成若干个多项式之和。
当n越大，若干个多项式之和逼近于原函数的值。

很多数学公式都是为了解决物理上的问题从而发明，我们借用了曾经学过的运动学知识，理解了泰勒公式。
——————————————分割线————————————————
为何要把一个好好的函数残忍的分割开呢，具体有什么应用呢。
下面举几个小栗子：

令
，当
时，从而计算
的值。
在计算机中，计算机可不会直接求
，
等函数的具体值，通过泰勒公式展开函数可求其近似值。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:05

不是说要用通俗的话解释么……
高票答案的：“就是用多项式函数去逼近光滑函数”
好像……不太通俗吧……
=====================================
我尝试用真正通俗的语言地解释一下，首先我们看泰勒公式（麦克劳伦形式）的样子：

容易看出，实际上就是从0这个点的函数值出发，然后把各阶导数全部加起来。
下面的阶乘不过是为了消掉X本身求导带出的东西而已。
那么我们想想为什么要把导数全部加起来？
导数的意义是什么？
我们都知道，在物理的时间-位移函数中，求一阶导数就得到速度，说白了就是位移的变化率；
求二阶导就得到了加速度，说白了就是速度（一阶导）的变化率。
所以，容易看出，实际上每一阶导数都是上一阶导数的变化率。
至此，泰勒公式的含义就很明确了。
我们知道一个时点的值比如f(0)，然后我们想求f(x)，
我们只要让函数从f(0)走到f(x)然后考虑过程中的所有变化就可以了。
举例：一个老司机开车（考虑一维的情况）向前行驶，这人开车很任性，一下加速一下减速，完全由着性子来。那么我知道他0时间在a这个位置，请问他2分钟后开到了什么位置呢？
首先直接速度乘以时间，不准确，因为这老司机开车的速度老在变化；
那我们考虑速度的变化，即考虑一个加速度，好像比刚才好点，但是还是不准确，因为这老司机一下踩油门一下踩刹车，连加速度都是变化的；
好，那我们再考虑加速度的变化……
由此一直考虑下去，如果我们能描述，这个开车的人在这两分钟里，每个时间的速度的变化，加速度的变化……我们就能得到两分钟后他的位置。
即：不论其车开得有多任性，只要我从初始点开始，把这个过程中的车的每一个变化，每一个变化的变化，每一个变化的变化的变化，每一个变化的变化的变化的变化……都考虑到了，就能近似得到最终目标点的情况。
而且越往后考虑，得到的结果越精确。
这就是泰勒展开的含义啦。
=====================================
补充：需要注意的是，泰勒公式适用于局部的近似。即，如果知道某点的值，我们可以用泰勒求出该点附近的点的值，如果两个点离得很远，泰勒公式就会产生很大误差。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:06

● 泰勒公式是在局部，用一个多项式函数，近似地替代，一个复杂函数。这一点，大家在前面的高票回答里已经很清楚了。现在，我想谈谈为什么可以用多项式函数进行替代以及泰勒公式展开的本质。
方便大家理解，我只用最简单的带佩亚诺余项的麦克劳林公式做范例，后面大家可以用一般的泰勒公式自己分析一下。

● 一般教科书把麦克劳林公式写成以下形式：
初学者可能有点懵逼，只是死记硬背，对这个展开式没有直觉性的分析，觉得这个公式很不可爱。
但是，如果稍稍把阶乘换个位置，譬如这样：
这个公式一下子就变得和我一样可爱。上一个公式只是为了方便求各阶幂函数前的系数，而这种形式才更贴近泰勒公式的本质。

● 大家可以思考下，在泰勒展开式中，每一个幂函数与其搭配的同阶的阶乘的特点。可能还是没有一眼看出来，但是如果我告诉你x^n的第n阶导数是n！呢？也就是说，x^2的二阶导数是2！，x^3的三阶导数是3！，这样你能看出什么吗？
是的，你会发现，在x=0这一点，对右边多项式函数求三阶导数，结果为f'''(0)，因为f(0)、f'(0)x、f''(0)x^2/2分别在一次求导，二次求导和三次求导中求导成了0；而后面的456更高阶幂函数代入x=0全为0；x^3的三阶导数是3！，和分母的3！约去，只剩下了f'''(0)这一项。——多项式函数的3阶导数值就是f(x)的3阶导数值。同理，多项式函数的4阶导数值就是f(x)的 4阶导数值，多项式函数的10086阶导数值就是f(x)的10086阶导数值。

● 大家可能就理解了，为啥泰勒展开式都是幂函数。这并非某些答案所说的因为幂函数很简单，而是因为幂函数一旦与相应的阶乘组合，就可以在对应阶数求导后「消失」，只留下各阶导数值。在这种意义上，泰勒展开并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。

● 因此反过来看，就算你没有记住某个函数的泰勒展开式，你也是可以轻易算出每一阶幂函数前面的系数的，由之前分析的结果可以很容易知道，x^7前面的系数为f(0)的第7阶导数值/7！。这就是一般的泰勒公式把阶乘放在各阶导数值下的目的。

● 总结：泰勒公式的灵魂是导数值，而非幂函数。在展开的这一点，泰勒展开式与f(x)的每一阶导数值都完全相等。而这种“各阶导数值相等”，揭示了多项式函数和它想要替代的复杂函数f(x)在「每一个维度上完全相同」的奇妙的事实。

● 打个不精确的比方，在「某一时刻」，有两个「独立的人」，一个人叫张三，一个人叫李四。张三想让李四替代自己去上学。
在这一时刻，李四和张三的长相相同（函数值相同），体型相同（一阶导数值相同），声音相同（二阶导数值相同），那我们就可以认为，或许在这一刻，让李四替代张三是比较合理的。如果在更深入的维度上，他们具有相同的智商（三阶导数值相同），具有相同的记忆（四阶导数值相同），那么用李四替代张三就更合理了。如果他们具有相同的喜恶（五阶导数值相同），具有相同的三观（六阶导数值相同），那么用李四替代张三就越来越合理了。
这也是为什么泰勒公式展开越多项，在展开这一点的附近就越接近f(x)本身。

● 现在再看一眼公式，大家能「理所当然」地理解为啥泰勒公式能够如此展开了吗？你在写出展开式的时候，内心活动应该如下：
◎ 在x=0这一点，他们的函数值相同，所以写出第一项f(0)。
◎ 他们的1阶导数值相同，所以写下f'(0)；要求求1阶导的结果为f'(0)，那么后面得添上x。
◎他们的2阶导数值相同，所以写下f''(0)；要求求2阶导的结果为f''(0)，那么后面得添上x^2/2！。
◎ ……
◎ 他们的n阶导数值相同，所以写下f(0)的n阶导数值；要求求n阶导的结果为f(0)的n阶导数值，那么后面得添上x^n/n！

——如果你能理解当中的本质，这是一个简单到不需要记忆的公式对吧？

● 希望你们看完这个回答后能够体会到，f(x)泰勒展开成怎样的函数并不重要，重要的是，在进行了某阶求导后，这个函数一切外在的躯壳都随风而逝，只留下了在这个维度上和f(x)完全相同的事实。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:07

在我初次接触数学的时候，很多公式不理解都直接网上搜，搜到很多不同的有趣的答案，现在终于有能力自己理解并运用的时候，很多数学定义在我眼中都发生了翻天覆地的变化，比如最初学数学分析时遇到的泰勒公式、傅里叶级数，现在将对泰勒公式用代数上多项式逼近，和数学中高阶求导来做一番详细的推导。
现在我出一个题目：

可以看到坐标轴上有这么4个点，那么我现在很想知道有没有可以过这4个点的函数了？
由于是平面我们可以这样建立一个恒等式

其实大家可以看图像

嘿嘿，刚好过这4个点，不过这里有个问题，虽然我们建立的是一个恒等式，但是自变量和应变量之间的关系是由一个方程式确定的，这是个隐函数，我们不希望有太多约束，那怎么办，这里我们看到方程两边像不像因式分解？这里很容易联想到复系数多项式唯一因式分解定理

这样看上去是不是清爽了很多，以上公式是牛顿插值公式，求解起来就相当于解方程也是很容易的，大家可以直接在图像上看到：

这样拟合的效果是不是清爽了很多，实际上，上面的公式以前在天文学中应用广泛，主要用于求解天体运动的轨迹方程，这和泰勒公式有啥关系了？
如果一个未知的运动在平面上，那么我们最后拟合的这个方程其实会越来越符合其运动轨迹，但是符合是符合，也只是接近而已，如果我们运用极限的思想，在极小段运动轨迹上取无穷多个点进行多项式拟合，那么得到的多项式误差会不断趋向零，我们现在需要的是把多项式向极限这种数学思想上转换！我们这里开始构造这样的式子：

构造完成之后，怎样向极限思想转换了？我们现在需要证明这个方程和原函数（这里我们假定未知的运动是一个函数，虽然我们还不知道这个函数是怎样的）是等效的，是在极限逼近的，开始证明：

到这一步，我们貌似已经见到了泰勒公式的影子，很明显，假设有一个方程存在着n 阶导数，我们是不是可以猜想？这个方程的拟合多项函数（注意这里是拟合，和原方程不同，这里是拟合）的系数和上面我们推导出来的是不是一样了？怎么办？，接下来继续证明：

而泰勒公式一般主要在求近似值上，实际上，关于泰勒公式的误差也是可以估算出来的，用柯西定理可以估算在某阶上的误差，因为很多近似运算上是无穷阶的，不可能穷举出来，好啦，虽然这篇文章不是很容易通俗易懂，但是学问这东西下苦功夫是没错滴。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:08

这里主要是对高票答案的总结, 外加一些自己的理解, 希望能写的更通俗易懂一些, 方便大家理解.

麦克劳林公式

对于一些复杂的函数, 要研究其性质往往是比较困难的. 而多项式函数的性质往往比较简单, 所以有时候, 为了方便研究, 我们可能会想着: 能不能用一个多项式函数去近似一个复杂的函数?
比如说, 现在我们想在点0附近, 用一个多项式函数, 去近似一个复杂函数
, 那我们应该怎么做呢?
我们知道当x=0时,
, 所以不妨拿一个"当x=0时, y值也为1的函数"来近似试试, 比如说: y = 1

绿色的线是e^x, 蓝色的线是y = 1, 下同可以看到, 在x=0这一点上, 两个函数的值都是1, 但在x=0的邻域, 这两个函数的图像一点都不相似, 所以这个近似效果一般...
那如何让近似效果更好一些呢, 可以想到, 不妨用导数试试. 导数可以反应函数在某一点的变化率, 如果两个函数在x=0处, 除了y值相同, 变化率也相同, 那两个函数应该会更相似一些.

, 当x=0时,
的导数为1
所以我们需要近似函数在x=0处的导数也为1, 比如说这个函数: y = 1 + x, 其导数y'等于常数1, 在x=0处的导数自然也为1
现在: 原始函数
, 近似函数y = 1 + x, 这两个函数在x=0处, 除了y值相同, 导数也相同. 我们来看看这两个函数的图像

两个函数的图像更接近了, 看来这个思路是正确的, 那沿着这个思路, 如果让近似函数在x=0处的二阶导, 和
在x=0处的二阶导也相同呢...即在x=0处, 两个函数变化率的变化率也相同...

所以
在x=0处的二阶导也为1
那么我们选定近似函数:
近似函数在x=0时, y=1,
近似函数的一阶导为1+x, 当x=0时, 一阶导为1,
近似函数的二阶导为常数1, 当x=0时, 二阶导也为1,
这些值和
在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导的值是相同的, 来看看两个函数的图像

更相近了...
然后我们按照这个思路, 来试试三阶导
让近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导, 三阶导的值 =
在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导, 三阶导的值
比如近似函数为:
(这个函数是满足上述条件的, 这里就不验证了)
看一下图像:

更相近了..
再来看几张:

四阶导相同

五阶导相同

十阶导相同, 近似函数和原始函数n阶导相同, n越大, 近似程度越高
按这个思想, 假设原始函数在x = 0处n阶可导(比如
在x=0处就是n阶可导)
如果让近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 =
在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值. 则可以推测此时两个函数的图像应该会很相似, 或者说近似函数对原始函数的近似效果应该会很好, 事实也确实如此.
麦克劳林公式(麦克劳林公式就是x0=0时的泰勒公式, 后面会具体讲泰勒公式)就是在描述: 如何找到满足上述条件的近似多项式函数, 写成公式大概是:

左侧是原始函数, 右侧是近似多项式函数
而两者之间的关系只是约等于, 或者说是近似. 实际上, 完整的麦克劳林公式是这样的:

后面的
是佩亚诺余项, 加上这个佩亚诺余项, 左右就相等了
麦克劳林公式的含义就是: 如何在x=0附近, 用一个多项式函数(等号右侧的函数), 去近似一个复杂函数(等号左侧的函数)
(这里稍微说一下佩亚诺余项: 在麦克劳林公式中, 佩亚诺余项
是个当x→0时比
高阶的无穷小, 这也就说明, 在x=0附近, 用麦克劳林公式产生的多项式函数(不含余项部分)去近似原始函数时, x离0越近的地方, 近似的误差越小, 近似效果越好, x离0越远的地方, 近似的误差越大, 近似效果越坏)

2. 为什么麦克劳林公式会是这种形式
麦克劳林公式:

为什么等号右侧的多项式(不含最后的余项)要写成这种形式呢? 其实理论上, 右侧的多项式也可以写成别的形式, 其本质只是为了满足下面这个条件:
让右侧多项式函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 被近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导
这里的多项式

只是满足这个条件的一种形式. 如果还有别的形式的函数可以满足这个条件, 它也可以替换掉麦克劳林公式中的的多项式部分
如同"各向异性角点解"在他的答案中写的:

泰勒展开(或者说麦克劳林公式)并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。

3. 泰勒公式

麦克劳林公式只是泰勒公式在x0=0时的特殊情况, 现在抛开x0=0, 让x0可以是函数定义域中的任意值(只要在x0处n阶可导就行), 就变成了泰勒公式
理解了麦克劳林公式, 很快就能理解泰勒公式了: 泰勒公式用于在x0附近, 用一个多项式函数(等号右侧的函数), 去近似一个复杂函数(等号左侧的函数)

4. 泰勒公式的本质
I. 泰勒公式的作用是描述如何在x0点附近, 用一个多项式函数去近似一个复杂函数.
II. 之所以能实现这种近似, 背后的逻辑是:
让近似多项式函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 原始函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导
即, 如果函数A和函数B在某一点的值一样, 变化率一样, 变化率的变化率一样, 变化率的变化率的变化率也一样...
就这样层层深入, 无论深入到哪一个维度, 关于这一点的变化率函数A和函数B都是一样的, 那就可以推断:
在这一点上, 函数A和B应该是一样的
在这一点附近, 函数A和B应该很相似
离这一点越远, 函数A和B的相似程度就越难以保证
...
给定一个函数A和一个定点x0, 利用泰勒公式, 我们就能很快找到这样一个在x0处层层变化率都和函数A相同的多项式函数B, 这就是泰勒公式的作用
III. 泰勒公式可以把一个复杂函数, 展开成一个用多项式表示的近似函数 -- 这是泰勒公式的表现形式. 更重要的是理解: 展开后的式子和展开前的式子, 在某点x0处的y值, 以及在x0这一点上各阶导数的值, 都是相等的, 这是展开前后可以大体相等的核心原因

---

最后需要说明的是, 这篇答案更多的是: 在默认泰勒公式正确性的前提下, 告诉大家如何去"直观感受"这种正确性, 去理解这么长的一串公式背后所表达的简单含义, 并粗略地理解公式成立的大体原因. 至于泰勒公式究竟是如何推导出来的, 其背后经过了怎样地严格证明, 这里并没有真正提及, 这些内容需要大家去查阅更多的资料, 进行深入的理解...

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:09

2016-04-11更新
有个童鞋问阶乘是怎么来的，在这里更新一下
比如其中一项

======================================================================
单手倒立拍星轨的回答啊非常好啊，在此基础上补充一点自己的看法。
前面有位答主说泰勒公式是微分的升级版，但我觉得她更像是求积分的升级版呢。

大家都会求导吧，给定一个f(x)，都可以唯一确定一个导函数f '(x)，导函数给出了原函数的变化情况。
比如
导函数为
但是，倒过来就不行了，一个导函数
对应原函数为
，
，
………无穷多个。
写成积分形式就是

为什么呢，因为在求导的过程中，我们虽然得到的函数今后的变化情况，但损失了一部分信息，就是原函数的初始值。概括一下，
原函数的信息=导函数的信息+初始值信息，
初始值信息没了，一个导函数就对应多个原函数了。

知道了原因，我们就可以去掉上面那个恼人的C了，加入初始值信息就好了。

那个f（0）就是初始信息。当然初始信息可以从任意位置开始，不一定从0开始
这时候我们得到了

(原函数的信息=导函数的信息+初始值信息)
继续这个过程

代入得

再接着做下去

无限做下去，前面是余项，整个是泰勒展开式
如果是普通多项式的导数，做下去总有导数为0的时候，这时余项就为0，是有限项。
如果不是普通多项式，展开项数为无限，在0的附近，余项是很高阶的无穷小。
就不啰嗦了。

整体上与单手倒立拍星轨的回答没有什么区别，只不过把物理背景删除了。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:10

通俗~吗~T_T

我有一个函数的集合

里面的函数很多

有的函数很简单

有的函数有点难

选定一堆简单的函数

每一个函数乘一个实数

把所有这些加起来

可以得到任何想要的函数

突然有一天

收到了他寄来的函数

不好算，有点难

带上之前选定的函数

乘实数，加起来

得到了他给我的函数

删几项，变简单

剩下的函数不算难

为简单，拿它算

拿到一个近似的结果

分析后，才算完

……………………

对不起，我编不下去了。总之，许多难以求解的物理问题，比如一些变系数微分方程，我们把系数做泰勒展开，求得近似解，某些情况下这些解给出的结论还是很OK的。例如我们分析双原子分子的摩尔斯势的时候，把势能函数在平衡位置展开一下，就可以用谐振子的结果做近似分析了。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:11

嗯，一种把目标函数写成幂函数的线性组合的方法……幂函数就是多项式了，大家处理多项式都是得心应手，求导、积分也很容易。在复数域上面，
还有个重要的积分性质
实际上如果在复数域上规定内积为
，则幂函数是正交的，就可以用标准内积展开的方式来求级数了，这个展开的级数一般是洛朗级数，当f(z)的展开点不是极点的时候，这个级数就是泰勒级数，可以很容易用分部积分证明。
我们知道单位圆上的z实际上是复三角函数exp(ix)，我们刚刚定义的内积也恰好是沿着单位圆的第一类曲线积分。所以幂级数其实是将目标点周围的小圆做傅立叶展开的结果。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:12

泰勒公式可以将难以理解的函数转变成易于处理的多项式。

图片来自于Coursera.org

如何通俗地解释泰勒公式？

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