你觉得定积分有什么意义？

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:06

数学与生活
我们知道，定积分的思想可以说是怎么形容都不为过，今天就浅浅地谈一谈。

为了让这个“≈”变成“=”，我们有理由相信，当n→∞时，就可以了。即：

问题产生了：
①：ΔX是什么鬼？
物理老师最先告诉我们，(t-t)=Δt。Ok，ΔX就表示一个变化量。
②：dX又是什么鬼？
数学老师告诉我们，dX是一个无限缩小变化过程，但是它永远都到达不了0。这曾经在数学史上让数学家产生了极大的智力障碍，并且触发了数学危机，被认为是一个幽灵般的存在。后来才被柯西等数学家解决。好了，扯远了……
③：ΔX与dX有什么关联吗？
通过前面的分析，你可能已经慢慢懂得ΔX不过是dX的一张照片而已……
好了，接下来让我们来轻松的解决问题吧。

好了，由于i是一个脚码，完全有理由给它去掉(一个x对应一个i,它们只用一个就行了)。即：

接下来我可以非常确定一件事：你一定注意到了“定积分”与“不定积分”只差了一个“不”字。好吧，在你看来这也许是一句废话，但这正是关键所在。下面就具体谈谈。

好了，上面那货你一定看得懂，毕竟你已经读到这里了。还是回到它原始的意义上来吧。毕竟 it was born for “面积”。

非常明了，①的面积无法计算，②的面积很直观。再来看看它的背景吧。
问：把1分成无穷份，在加起来有多少？
“肯定是1喽！”对的，别激动。
用数学式表达一下，就是这样：

好了，为了计算一个函数与坐标围成的面积，牛顿和莱布尼兹也是拼了。。。
看，这就是他们做的：

不过他们用了一个公式就默认他们瞬间完成了分与和并：dX表示分(微分)；∫表示和并。
于是面积就就用一个牛顿-莱布尼兹等式表示出来然后就能进行计算了。
说了这么多，其实我想告诉你的就是定积分的思想：
在一个限定的空间内，不管你迈出了多少步伐，实践证明，你永远不会超越这个空间。所以，无论别人怎么看待你，你自己千万不要否定自己，更不要限定自己。
一点一点的积累，就可以呈现出成果，付出也一样。

Ps：有些公式可能表达不规范，但是只要明白我的思想就行了。
Ps：对于最后一张图，侵立删(主要觉得很有深意，我至今未完全明白)。

热心的小回应 · 2021-1-3 22:12:07

现在初学者都很难理解定积分的概念，我当初也是这样，因为我才小学，只能在网上自学对我来说有许多东西都很难以理解。比如：

什么是导数
dx只是摆设吗
定积分的定义式怎么理解
牛顿-莱布尼兹公式是怎么来的

导数

关于导数，我想说的是：
不要把它想得太复杂了！
其实它表示的就是切线斜率。
放张经典的导数图

相信大家都能理解了

2.dx在定积分中的用处
首先，定积分的基本思想就是：
分割------求近似和（面积）
而它求的面积就是函数f（x）直线x=a，x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积。

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式

。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为

，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

我们所说的dx即使其中的△x。即小长方形的底。（下面有解释）

3.定积分定义式的理解

这是我们要求的面积s，直接求肯定是不行。但是转化，转化！我们可以把区间a到b平均分成2个长方形。如图

可得长方形的底为（b-a）/2*，长分别是f（a），f(a＋*）。
同理就可证得s为

于是得到定积分定义式
（图片怎么没有啊！）

4.牛顿-莱布尼兹公式
首先看一下这个强大的公式

定义：

如果函数f(x)在区间【a，b】上连续，并且存在原函数F(x)则

也许，牛顿就是这样的数学迷，他对什么都想求一下导。首先给定面积函数A（x）

对它求导可以从几何意义上考虑。

值得注意的是，当△x→0时D-S近似一个小矩形的面积，除以dx得到矩形的高f（x）
A'（x）=f(x)

至此，定积分应该是不怎么难了。

你觉得定积分有什么意义？

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