如何评价 Stein 的分析系列（数学）？

Stein 先生的分析系列《傅里叶分析导论》《实分析》《复分析》和《泛函分析》作为普林斯顿的教材，大家对这套系列书的评价如何？

热心的小回应 · 2020-12-23 16:53:41

个人认为优点有以下
1.动机充分，以傅里叶分析贯穿四部曲，不会让人读着不知道干什么。2.行文流畅，证明思路很清晰。3.涉及的方面在同等级分析教材中算得上比较广，比如第三册讲到分形和遍历定理，第二册zeta函数和素数定理，椭圆函数初步，Jacobi theta函数和4平方定理，第一册最后讲了有限交换群上Fourier分析和Direchlet定理，这些问题虽然古老但都很经典，思想值得学习。

------

要注意Stein是调和分析大师
如果你想学调和分析，这套书提供了一些入门的基础。每个习题都它的目的，比如一些积分估计在以后就是要常用的结果。并且不是所有分析学的概念都要一一呈现，它只用简洁的篇幅告诉你主干内容，有的在结果放在习题里。他还把实分析尤其是微分理论和Hilbert 空间的技术，Pde，复分析，Fourier 分析联系在一起了，观点十分统一，动机非常明显，基本没有割裂感。

------

Stein前三本:辅助Tao的An Introduction to Measure Theory，Ahlfors的Complex Analysis，第四本配合Adams的Sobolev Spaces。

准备学数论的本科生一定要好好读前两本最后几章，和方程有关的就直接跳，这样以后读椭圆曲线，类域论什么的就快很多。否则就疲于奔命了......补一堆分析的东西很烦人的......

热心的小回应 · 2020-12-23 16:53:42

谢邀。
这套书由浅入深，第一本傅里叶分析只要学过数学分析就能看了。个人建议就在学了数分大部分内容的时候去看这本书，是对数分知识的很好的训练。倒是学完实变函数后可能会觉得里面有些东西搞复杂了，可能因为学过新的积分方式再看老的总会觉得逼格不够高吧，但是就是因为黎曼积分的特殊性，导致了一些问题的产生：比如平均收敛的黎曼可积函数可能收敛不到一个黎曼可积函数，导致了实分析中的新的积分的引入。书中许多章都是一个具体的问题，可能是PDE的方程，也可能是几何的等周不等式，读起来非常有目的性。
第二本复分析前面大约3章就基本把我们本科所学的内容都讲掉了，虽然在深度上略有不足，但是我们可能很快地猜想到一般的结果是什么样的。第四章讨论了Fourier逆变换成立的充分条件，引入了一个非常有用的技巧，就是切换积分路径，把实轴上的积分抬高，可能就会找到一个非常合适的积分路径，这就是渐近分析中最速下降法的一种体现吧。第五章讨论了一个整函数与零点集的问题，这里就感受到分析有时候过程不怎么漂亮，或者说比较繁琐，推导过程中充满了不等式，但是结果是非常漂亮的，后面几章基本是在讲特殊函数，是对前面知识的很多应用，当然具体这些知识能干什么我就不太懂了。。。
第三本接着第一本的问题出发，定义一种新的积分方式，他是从欧氏空间上的测度和积分开始讲的，没有直接就讲抽象的测度，秉承着一如既往的由浅入深的思想。前3章基本能和实变函数内容匹配起来，读起来还是非常带有目的性的。第四章之后画风一转，开始讲泛函的Hilbert空间了。一开始读到这里我是懵逼的，好好的实变教材怎么突然讲起泛函了？实际上他是为了后面的问题引入的Hilbert空间，后面一章的弱解存在性之类的都要用到。（虽然还是觉得有点突兀，可能内容实在太多，编排上还是没法很好匹配吧，当然讲完L^1讲L^2也算是比较自然的吧。）最后他回到了一般抽象测度的理论了，我们可以和之前的理论进行比较，发现抽象理论和之前的特殊理论的不同：构造测度的时候依赖不依赖拓扑。一般理论的威力就在于测度的构造不依赖拓扑，但是构造也能和拓扑（度量）产生关系，最后一章不仅展示了这一点，还介绍了分形中比较有用的Hausdorff测度。
最后一本我就没看完了，可能不太有资格说。首先上来讲的是L^p理论，是第三本p=1与p=2后的更一般情形，在调和分析中这是最基本的空间，主要介绍了他们的基本性质，比如嵌入关系，某种对指标的凸性等。第二章主要介绍的是调和分析的内容，算子的插值理论和Hilbert变换——一个经典的奇异积分算子的理论。第三章是广义函数及其运算，是对之前几乎处处有定义函数的补充，可以看到函数可以推广到什么程度。第四章是标准的泛函内容——纲定理及其应用，是我们本科也学的内容。后面几章我没看，从标题来看是概率、多复变还有振荡积分，应该就是标题中的那些Further Topics in Analysis吧。我觉得我还是抽个空把他们都看了吧。
总之，这是四本从入门到精通的好书，也是丘赛的53，适合自学，也适合学的时候参考。如果有计划要看完4的同学我建议还是大概就在学了数分大部分内容的时候去看吧，因为第一本书就适合那个时候看，其他几本对第一本有一定程度的依赖关系，如果第一本觉得太简单看的很快的话，可能就会丧失了对这套书脉络上的把握。

热心的小回应 · 2020-12-23 16:53:43

只读过其中的 Fourier Analysis 和 Complex Analysis，整体来说，Stein写的书是十分不错的，作者对整个分析学的介绍已经很详细了。看了之后让人觉得整个分析学体系就是一个整体，每个学科都有着自己关注的那一部分知识点，然后学科与学科之间又有着密不可分的联系。如果目前还是本科生的话，个人强烈建议去买一套这样的教材来详细阅读，因为这一套书的质量其实已经远远高于国内的很多本科生教材了。如果已经是在读博士生或者已经工作的人，买这样一套书来收藏也是十分有价值的。

热心的小回应 · 2020-12-23 16:53:44

谢邀: 这是一套好书，它的好在于它的理念很好：分析是一个整体。作为一个利用分析工具做研究的人来说，这是不难发现的，一个问题它往往牵涉到不同层次的分析：实分析所关心的可测性问题，泛函分析所关注的“算子性质”，具体计算可能又涉及一些基础的数学分析技巧。如果仔细看这套书，你会发现一个问题（比如，傅立叶级数）会在不同的分册中多次提及，像是系列小说中的“主线”剧情一样，让你慢慢了解到“哇，原来是这样”。由于大学传统的教学方式，各个层次分析：数学分析、实分析、复分析、调和分析、泛函分析都有不同程度的割裂。由于限制，不能对一个问题作更多层次的思考和挖掘。 往往只有一定程度的人才会刻意挖掘其中的联系。Stein的这套分析是对这个割裂现在的很好挑战。而且，这套书是study by exmaples的。也就是说，这套书注重应用和例子，对于学习抽象分析的人来说这是非常有必要的，通过具体的例子，大家对于分析才有“实感”，而不是一种空中楼阁式的理解，后者容易产生“能背诵很多定理”但是“做不了应用”的窘境。所以，对于有志于未来利用分析工具做为自己研究工具的学生来说，我是很推荐这套书的。当然了，它也不是完美的，比如在实分析中和泛函分析中的有些知识没有涉及。你也看看rudin和其他人辅佐一下，但是，作为第一次学习，我认为是很好的教材。

热心的小回应 · 2020-12-23 16:53:45

总的来说，作为一个分析系列教材，浑然一体，几乎完美。关于这点， @大倪Ni 说的非常清楚了，我要补充的是不足之处。

我不是按顺序读的，我先看的real，再看的fourier，最后浏览了一下functional和complex.

先说前两本，fourier analysis好的没法说。一般国内数分教材的傅里叶分析根本讲的不到位。这本无论从体系，内容的深度广度，还是习题的编排，都是非常好的。只是第一章初学可以跳过，我是学pde的时候看的这本书，所以读起来格外爽。

complex analysis的话，我没细读。我学的是龚昇老师的简明复分析，话说这本书一点也不简啊啊啊，简直虐死我了，一度怀疑自己的智商。后来看了看stein的这本，一下子感觉好失落，当初我要是学这本的话，复分析功底也许就好多了。龚昇老师的书不是不好，不过适合用作参考书，毕竟观点比较高。stein的复分析里还有素数定理的证明，第一次看到这个证明是在陈天权的数学分析讲义里面，不过感觉stein写的更容易接受一点。

real analysis是我最先看的。学这门课的时候我同时看了两本书，还有一本是夏道行的实变函数。stein的书我唯一受益的是开头讲的lebesgue积分的动机。后来大部分精力花在夏道行上面，课后习题也刷了一遍（当然除了第一章的部分习题），因为我发现这本书是格外的好。他讲的要比stein深刻，而且细节上的处理也要比stein好，比如利用cara...（那个老长名字的忘了。。。中文好像叫卡拉泰屋独立）条件分离出可测集的做法。中文书里难得的好书。

stein的最后一本也是一样，广度上足够，深度上远远不够。感觉用夏道行的实变函数论与泛函分析代替stein的后两本，以stein的后两本作参考，就非常完美了。当然了，泛函分析的好书有许多，比如Haim Brezis的。其实把stein后两本里关于fourier分析的部分抽取出来读读也就可以了，没必要作为教材。

热心的小回应 · 2020-12-23 16:53:46

丘赛五三

complex analysis写的不够深

如何评价 Stein 的分析系列（数学）？

6 个回复

浏览过的版块