性质6 积分第一中值定理
设 f(x),g(x) 都在 [a,b] 上可积， g(x)在 [a,b] 上不变号，
令 M=sup{f(x):x∈[a,b]},m=inf{f(x):x∈[a,b]},
则存在 η∈[m,M], 使得
∫baf(x)g(x)dx=η∫bag(x)dx,
特别的，若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 ξ∈[a,b], 使得
∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx,
证明：
因为g(x)在 [a,b] 上不变号，不妨设 g(x)≥0,x∈[a,b], 于是有
mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),
由性质3，得
m∫bag(x)dx≤∫baf(x)g(x)dx≤M∫bag(x)dx,
因此必存在 η∈[m,M], 使得
∫baf(x)g(x)dx=η∫bag(x)dx,
若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 ξ∈[a,b], 使得 f(ξ)=η, 因此
∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx | 
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