任意三维直角坐标系变换矩阵的推导

(v1, v2, v3)坐标系 ==> (u1, u2, u3)坐标系

u₁ =a₁v₁ + a₂v₂+ a₃v₃u₂ =a₄v₁ + a₅v₂+ a₆v₃u₃ =a₇v₁ + a₈v₂+ a₉v₃

[ u ] = M [ v ]------------------------------ 1

现已知一向量w,可分别表达为
w = c₁v₁ + c₂v₂+ c₃v3 --------------------- 2
w = d₁u₁ + d₂u₂+ d₃u3 -------------------- 3
由1, 2，3两式得

w = c [ v ] = d [ u ] = d M [v]
==> c = d M --------------------------- 4
公式推导完毕

假设任意坐标系三个坐标轴的分量是 (u, v, w),现要转换成标准的( i , j, k )坐标系
假设u, v, w, i, j, k都是单位向量
将,u, v, w三个向量分别带入 2, 3式可得到9个非常简单的方程组
求解后M的9个元素可得

| u_x u_y u_{z |}
M = | v_x v_y v_{z |}
| w_xw_yw_{z |}至此，(v1, v2, v3)坐标系 ==> (u1, u2, u3)坐标系的转换系数已求出，如果需要坐标平移系的话，需要采用4 x 4的矩阵