向量基础知识

向量表示：

一 个 向 量 记 为 : \vec{a} = \vec{A B} ； 向 量 的 长 度 称 为 馍, 也 叫 做 向 量 的 范 数 ， 记 做 : | \vec{a} |

设a=（x,y）,b=(x’,y’).

一、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
　　

A B + B C = A C . a + b = (x + x^{'}, y + y^{'}) . a + 0 = 0 + a = a .

　　向量加法的运算律：
　　交换律；结合律:
　　

a + b = b + a ； (a + b) + c = a + (b + c) .

二、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y')

三、数乘向量

1.实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣

当λ＞0时,λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向；
当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

2.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律　　
　　

结合律： $(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b) = (a \cdot λ b)$
向量对于数的分配律（第一分配律）： $(λ + μ) a = λ a + μ a$
数对于向量的分配律（第二分配律）： $λ (a + b) = λ a + λ b$
数乘向量的消去律： $① 如果实数 λ \neq 0 且 λ a = λ b, 那么 a = b ② 如果 a \neq 0 且 λ a = μ a, 那么 λ = μ$

四、向量的数量积

向量积可以被定义为：

定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.
　　若a、b不共线,则

a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot c o s 〈 a, b 〉

　　若a、b共线,则

a \cdot b = + ∣ a ∣∣ b ∣

　　向量的数量积的坐标表示：

a \cdot b = x \cdot x^{'} + y \cdot y^{'}

.
　　这里写图片描述
　　向量的数量积的运算率
　　

交 换 率 : a \cdot b = b \cdot a

分 配 率 : （ a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

　　向量的数量积的性质
　　

a \cdot a = | a |^{2} .

若 a ⊥ b 〈 = 〉 a \cdot b = 0

| a \cdot b | \leq | a | \cdot | b |

　　坐标运算：
这里写图片描述

向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：

(a \cdot b)^{2} \neq a^{2} \cdot b^{2}

　　2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
　　3、|a·b|≠|a|·|b|
　　4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
　　5、平行向量问题：

若 \vec{a} | | (平 行 符 号) \vec{b} 则 \vec{a} = λ \vec{b} 此 时 若 \vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2}); 则 x_{1} = λ x_{2}; y_{1} = λ y_{2}; 得 出 : \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = λ; 由 此 推 出 ： x_{1} y_{2} = y_{1} x_{2} 就 是 两 个 平 行 的 向 量 坐 标 交 叉 相 乘 值 相 等

通过向量坐标的馍运算

这里写图片描述

垂直的情况
这里写图片描述

向量的夹角：
这里写图片描述

向量的投影：
由于 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | c o s α$ ，投影为： $| \vec{a} | c o s α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |}$ 其中 $| \vec{a} | c o s α$ 为向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影
这里写图片描述

点到平面的距离：
最基本的公式：设AB,AC是两个向量,则 $\frac{| A B * A C |}{| A B |}$ （这里*表示点乘,或是内积）表示向量AC在方向AB上投影的长度
先说点到直线的距离.
在直线L上取两点A,B,设C为直线外一点,设C到AB的距离为d,CA在直线L上投影的长度为h,那么由勾股定理, $h^{2} + d^{2} = | A C |^{2}$ ,再把 $h = \frac{| A B * A C |}{| A B |}$ 代入即可
再说点到平面的距离,关键是要知道平面的法向量：
设平面方程为 $A x + B y + C z + D = 0$ ,则法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$
设P为平面上的一点,Q为平面外的一点,那么Q到平面的距离就是向量PQ在法向量n方向上的投影,即 $\frac{| n * P Q |}{| n |}$
对于平面到平面的距离,首先两个平面要平行才有距离（只用看法向量是不是平行就可以了）,如果两个平面平行,在其中一个平面上任取一个点,求这一点到另一个平面的距离就是两个平面的距离.
对于直线到平面的距离,首先直线与平面平行才有距离（只要平面的法向量与直线的方向向量垂直就可以了）,如果平行,在直线上任取一点,求这一点到另一个平面的距离就是直线到平面的距离.
注意到,在建立了坐标系的情况下,向量的内积、求模长、判断平行与垂直就是有公式给出的,所以以上的讨论基本解决了用空间向量求距离的问题

参考链接：

图片来自：乐学堂【高中数学】平面向量 ——-侵权就删

向量基础知识

一、向量的加法

二、向量的减法

三、数乘向量

四、向量的数量积

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