个股期权认购-认沽平价公式与波动率微笑

　　小知识
　　设欧式认购期权当前价格为c，欧式认沽期权当前价格为p，其执行价都为K，当前时刻为0时刻，到期日都为T时刻，市场无风险利率为常数r，标的股票价格为S，在0-T时间段内不支付股利，则成立以下认购-认沽期权平价公式：
　　需要指出的是，认购-认沽平价公式是由无套利原理保证的，和用哪种期权定价模型无关。具体构造无套利组合方法如下：
　　组合A：一股执行价为K、到期日为T的欧式认购期权+在T时刻收益为K的零息债券；
　　组合B：一股执行价为K、到期日为T的欧式认沽期权+一股标的股票。
TS>K，两个组合价值均为S；如果S　　有了认购-认沽平价公式，我们接着引入一个概念叫波动率微笑。波动率微笑是指描述期权隐含波动率与执行价格K的函数关系的图形。所谓隐含波动率，是将市场上的期权交易价格代入期权理论定价模型（Black-Scholes模型）从而反推出来的波动率数值。我们在为期权做理论定价时用的波动率是标的股票历史波动率统计值，而实际交易价格和理论价格往往存在差异，也就是说，实际交易价格中隐含的标的股票波动率往往和它的历史波动率不一样。一般来说，Black-Scholes定价模型中假设股价波动率是常数（由历史数据测得），在实际中往往低估了标的股票的波动率。对于股票期权来说，行权价格K越高，隐含波动率越小，当行权价K趋于正无穷时，隐含波动率也趋近于0。下图是个股期权的波动率微笑：
　　若要追溯起源，其实“波动率微笑”这个提法一开始是在外汇期权中引入的。对于外汇期权来说，虚值期权和实值期权的波动率高于平值期权的波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也就是微笑的嘴形，故而取名波动率微笑。下图是外汇期权的波动率微笑：
　　对于波动率微笑，以下结论成立：对同一标的、执行价相同、期限相同的认购期权与认沽期权有着相同的波动率微笑。
　　这一结论可以由认购-认沽期权平价公式很方便地推出。我们之前说过，认购-认沽平价公式是由无套利原理保证的，和用哪种期权定价模型无关。因此无论对于BS公式推出的理论价格还是实际交易中的实际价格，平价公式都成立：
　　两式相减，有：
　　。
　　这个式子说明，当采用BS模型对具有相同期限与执行价格的认购、认沽期权定价时，公式所产生的误差应完全相同。这说明了波动率微笑对于认购、认沽期权来说是一样的。因此，我们在交易过程中谈及波动率微笑时，无需指明它是针对认购期权还是认沽期权。
　　最后我们来简单说说个股期权波动率微笑存在原因。国内外专家对此都做过很多研究，但并没有得出非常统一明确的结论，但谈论的比较多的原因主要有以下两条：
　　1、杠杆效应：当公司股票价格下跌时，公司杠杆效应增加（权益市值相比债务市值缩小），这意味着股票风险增大，因此波动率增加；当公司股票价格上涨时，公司杠杆效应减少，因此波动率会变小。
　　2、对市场暴跌的恐惧：当公司股票价格下跌时，投资者因为害怕市场崩盘，潜意识里给予股票价格更高的波动率。
　　小例子
　　我们通过实例来看如何利用认购-认沽期权平价公式进行套利：
　　假设现在是2月27日，对于执行价为12元、3月到期的上汽集团(600104)认购-认沽期权，设当前无风险利率为4%，根据无套利原理，应有认购-认沽平价公式成立：
　　带入数据，左边=1.606+12*e"(-0.04*28/365)=13.569，右边=0.331+12.70=13.031，因此，理论上应该卖空左边的组合，做多右边的组合。具体步骤如下（都假设以一股为单位操作）：
　　卖出一股认购期权，得到1.600元（对应买价），同时通过28天期正回购借入11.441元（因为是以一股举例，所以假设可以进行这么小单位的正回购），年化利率为4%；花0.331元买入一股认沽期权，再花12.71元（对应卖一价）元买入一股上汽集团股票。这些操作都是自融资的，即除保证金和担保证券外不需要缴纳额外费用。在到期日3月26日，若上汽股价大于12元，认购期权被执行，套利交易者以执行价卖出之前买入的上汽股票行权，得到12元，正回购到期归还11.441* (1+0.04*28/365)=11.476元，净赚12-11.476=0.52元；若上汽股价小于12元，认沽期权被执行，套利交易者同样以执行价卖出之前买入的上汽股票行权，得到12元，正回购到期归还11.441* (1+0.04*28/365)=11.476元，净赚12-11.476=0.52元。
　　当然在实际交易中还要考虑到保证金和担保证券的持有成本、交易的冲击成本，如果要融券还要考虑融券成本等等，因此套利未必能一定成功。
　　（国信证券经济研究所金融工程组）

个股期权认购-认沽平价公式与波动率微笑

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