换个角度理解布莱克-斯科尔斯-莫顿公式

1973年发表在《 Journal of Political Economy 》的文章《 The Pricing of Options and Corporate Liabilities 》对于金融学界和业界具有极其重要的意义。这种重要性不仅仅在于它后来使作者获得了诺贝尔经济学奖，也在于它开启了期权交易的新时代。在文章中的期权定价公式（后人称之为“布莱克-斯科尔斯-莫顿”公式），首次解决了前人研究中关键模型参数不可观测的问题，为期权的公允价格找到了归宿。交易所的期权成交量由此开始了爆发性的增长，如今期权作为金融风险管理的重要工具，在全世界几十个国家和地区进行交易，帮助人们实现风险转移。有人这样称赞这个公式，说它是“唯一一次金融学者的研究走在了实务界的前面”。说得可能有一些夸张，但细细梳理一下，好像除了法玛和弗兰奇的三因子模型可以勉强算是另外一个，其他真是找不出来了。

这个公式是如此的重要，以至于华尔街量化分析师的面试里有一个几乎必问的题目：请用七种不同的方法推导出布莱克-斯科尔斯-莫顿公式。在大学课堂里，讲到期权或者衍生品，这个公式也是无论如何必须讲授的。不过很多学生虽然可以将公式倒背如流，却未必对这个公式真正理解。本文跟读者分享几个“独特”的视角，以期能够帮助读者进一步加深对这个经典公式的理解。

我们知道，布莱克-斯科尔斯-莫顿公式如下图所示：

首先观察到这个公式的右边相当于融资买股票，融资金额为 N(d2) * K * e^(-r*(T-t))，买的股票数量为 N(d1)。这意味着看涨期权在本质上相当于加杠杆买股票，而杠杆比率为：

根据持有成本模型，期货价格 F 等于 S *e^(r*T-t)，因此杠杆比率可以写成：

仔细观察这个表达式，你会隐隐感觉到分母所代表的含义是期权到期日标的资产的某种平均价格。这个平均价格等于标的资产所对应的期货价格乘以一个调整项，N(d1) / N(d2)。这个观察很重要，下面我们会多次看到它的身影。

现在我们对布莱克-斯科尔斯-莫顿公式做一个小小的变形：等式的右边提取 e^(-r*T-t) 这一项，这样右边变为：

同样由持有成本模型上式可以写成：

这就是著名的布莱克公式，可以用来给期货期权进行定价。接下来是关键的一步，注意到 N(d2)代表的含义是到期日行权的（风险中性）概率，即：N(d2)=P[S>K]。我们提取 N(d2) 到括号外面，得到：

进一步地，可以将上式写成：

注意，上式中的（1 - N（d2））代表不行权的概率。如果不行权，那么回报为零。这样看的话，期权的价格就等于未来回报的期望值的折现，符合我们常见的传统现金流折现的定价逻辑。

这里我们再次看到了FN(d1)/N(d2) 这一项，如前所述，它代表的是标的资产在期权到期日时的某种平均价格。可以更明确的是，它其实代表的是在行权的前提条件下标的资产的平均价格。换句话说，可以把一个欧式期权想象成一个二元期权：如果行权，计算期权回报的时候将标的资产的价格设为FN(d1)/N(d2)；如果不行权，回报当然为零，不用考虑资产的价格。

现在再换个角度。我们知道，公司的股票等同于以企业价值为标的资产的看涨期权。这是由于股东的有限责任所决定的。假设企业的债务为D，到期时间为 T。那么当债务到期时，如果企业价值 V(T) > D，那么属于股东的权益为 V(T)-D；如果企业价值 V(T) < D，那么属于股东的权益为零。这个股东权益的回报结构就是一个看涨期权的回报结构。基于这个原理，我们有以下股票的估值公式：

那么同理，该企业的股票为对企业价值的加杠杆，而杠杆比率为：

这个企业杠杆比率看起来非常眼熟，原来我们平日在公司金融里面也有讲过企业的杠杆这个概念。那里我们计算杠杆时用的是 D/V，即债务除以企业价值。那么现在就有了两个企业杠杆指标。它们的区别是什么呢？哪一个更合理呢？笔者没有在任何文献当中看到有使用上面这个基于期权理论的杠杆比率。如果用这个作为杠杆比率指标的话，对以前的实证研究有多大影响呢？

笔者把这些问题抛给读者，欢迎大家留言讨论交流，也可以直接发邮件给笔者：market_watch@aliyun.com。

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