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文：居居
来源：vega投资

在我们预测未来波动率之前，我们需要能够对过去的波动率进行估计。估计历史波动率的方法很多，包括close-to-close波动率，Parkinson波动率，Rogers-Satchell波动率，Garman-Klass波动率以及Yang-Zhang波动率（这些波动率都保留英文原名）。

在进行波动率的估计时，要考虑两个因素，效率如何（估计值能否很快收敛于真实值）、偏度（我们的估计值是否系统的高估或者低估了真实值）。另外，上述这些估计方法导出的估计值在真实的市场中，会存在哪些方面的干扰因子？比如收益率分布的肥尾效应、趋势、微观结构噪音等。

还需要考虑的是，即使是同一种估计方法，也会存在由于估计频率的不同导致不同的结果。待理解了历史波动率的含义，就可以进一步了解其特征，包括均值回归、波动率聚集效应以及季节性效应等。

其实看到这个章节，我也不得不说波动率真的是个非常复杂的东西，只有透彻的理解了这个指标，才能在期权交易中游刃有余。

在交易中，我们不仅仅依靠点估计预测未来波动率，而是需要一些波动率可能范围的估计，所以需要了解波动率锥的建立以及抽样特征。估计波动率以及对它未来的分布进行预测是交易期权的关键。但是这个方法并不有效，在波动率便宜的时候去买入波动率或者在其贵的时候卖出波动率不是一个好策略，因为任何物品之所以便宜，一定是有原因的。我们所作的任何预测都必须有充足的基本面分析（例如，将出现什么催化剂引起波动率上升？如果我们做空波动率，我们不希望出现什么情况？）市场是非常复杂并且相互关联的，所有的估计和预测都必须结合当前的交易环境进行综合考虑。

估计波动率与估计价格不同，瞬时的波动率变化很难观察到，需要一定的时间才能了解波动率变化。实际上估计波动率是一个艺术，需要从不同的统计值中选择合适的值。这本书并不尝试找到一个确定性的答案，只是了解一系列不同的估计方法，了解这些方法的优势和缺陷，并且决定在什么场合最适合用哪一种估计值。

1.波动率的定义

对波动率的标准定义是方差的平方根，方差的定义如下：

这里xi代表对数收益率

是样本的均值收益率
N是样本数量
为了将方差标准化为年化形式，需要将方差乘一个与N相关的年化因子，比如如果上述样本使用日数据，则乘以252，因为一年有252个交易日。

如果历史价格序列包含了分红的支付，则需要对价格序列调整。也就是使用复权后的数据进行估计。

在金融学中，将方差与收益率均值（即收益率的漂移程度）区别开来十分困难，同时估计收益率均值存在噪音，尤其是小样本数据。所以在2.1式中，我们设定收益率均值为零。这种方法由于消除了一个产生噪音的源，从而增加了估计的精确度。

上述两个式中并未对收益率的分布做出假设。为了使用波动率进行期权定价，我们需要对产生收益率的过程做出假设。BSM模型假设收益率是正态分布的，这种情况下方差就能够描述分布形状的特征。实际上这个与现实不符，但我们希望方差以及波动率能够是决定收益分布宽度的主要参数。

为了通过样本方差估计总体方差，需要通过如下转换：

但是在一些文章中，通过直接定义样本方差为：

规避了上述过程。

如果按照这个等式，那么样本方差就已经成为对总体方差的无偏估计值了。了解你正在使用哪种定义是十分重要的，这也是产生冲突的一个重要来源。在实际中我们需要经常审核分母项是否为“N-1”。在EXCEL中，VAR函数就是使用的2.4的公式计算的。
上文我们有提到总体方差以及无偏估计的样本方差公式，如果直接使用上述方差的平方根来估计波动率，那么将会形成低估。主要因为“Jensen 不等式”，该不等式说明平方根均值总是小于均值的平方根，即：

如果我们假设实际过程是收益率呈正态分布，那么我们可以利用一个事实：样本标准差的分布是样本数量的函数。

这里，s代表样本标准差，σ代表总体标准差，Г(x)代表gamma函数，即Г(n)=(n-1)!
如果将这个函数用图表现出来，就是下图：

可以发现，增加样本数量N，那么分布的尖峰会往右移，朝向总体标准差方向。所以说更多的样本会导致更少的偏差。可以用一个公式来表示这种偏差程度：

s/b是对于总体标准差的无偏估计。

下面这张表给出了不同的样本数量下b值大小：

通过这个公式可以纠正偏差，也意味着不会总是高估或者低估真实的波动率，但这个估计值收敛到真实波动率的速度很慢，也就是说是无效率的。

样本标准差(s)的方差为：

下图表现了不同的样本数量下，样本标准差的方差情况：

上面针对样本标准差的方差公式实际上很棘手（平时很难用到，也不直观）。有一个更加简化的近似公式，我们来看下。

推导过程：

由此得到：

这个给出了一个简化公式，针对估计波动率的置信区间。表2.2表现了当N变化时置信区间如何变化。这个估计公式对于之前的精确结果也是一个完美的近似。了解私募基金，请关注私募工场：Funds-Works，咨询微信：15034081448。

样本数据越大，估计波动率将越接近真实波动率，如果是一个不变的过程这样是没问题的，关键是金融市场中波动率并不是一个常量（实际上不存在所谓的真实波动率）。所以碰到了一个矛盾：使用的数据太少导致估计的波动率噪音很大，可能与长期波动率相去甚远；使用太多数据可能会包含一些对当前市场不在有用的信息。一般来说，使用过去30天收盘价数据会存在很大的样本误差，95%置信区间意味着可能会偏离长期波动率25%！

这里再解释下样本误差，与测量误差不是一回事。在一个物理实验中我们只能估计一个确定的量，在某个精确程度上，这种误差主要是由于测量设备有限或者实验机构的问题。在金融市场中，如果我们不考虑bid/ask的价差，股票的价格就是一个精确值。所以历史波动率是一个精确的数值。

在测量方法上并不存在不确定性。存在不确定性的是这个估计值是否能够代表标的物的实际情况。这个可以用棒球运动做一个类比，如果一个运动员扔5中5，那么击中率为100%。问题是，没人敢说他真的就是一个命中率100%的运动员。可能只是我们足够幸运，看到了他职业生涯的顶峰。所以波动率也具有无法观察，只能估计的特性。我们的估计只是对真实波动率的一个歪曲的反映，就像一小部分的本垒出现次数只能呈现一个棒球运动员真实能力的一小部分。

以日收盘价估计的波动率之所以有用，是因为它允许我们将股票价格的移动转化为波动率，而波动率对于交易者来说是有用的。根据标准差的定义，主要是方差平均值的平方根，这个公式让我们很难将股价移动和标准差联系起来。如果用另外一个基于股价移动的指标，即：

再转换一下即：平均移动=0.04986σS≈σS/20

这个公式允许我们针对日收益率与年化波动率进行简单的转换。将日收益率乘20可以快速粗略给出年化波动率的估计值。

有两种基本的方法解决较大的样本误差问题。可以使用更高频的收盘数据估计波动率，或者使用其他包含收盘价及其他数据点的波动率指标，后者一般会被更多应用。

其他波动率指标

（1）Parkinson指标
这个指标的公式：

这里：hi是交易期间的最高价；li是最低价。

该指标通过乘一年交易期间次数的平方根后年化，通过价格在一段交易区间的运行范围给出波动率的估计值是具有意义的。本身波动率就代表了一个股票价格的运行范围。另外，这个指标有可能在更少的样本下向真实波动率收敛，因为用了两个价格，而收盘价估计方法只使用了一个收盘价。实际上，在一个几何布朗运动中，Parkinson指标较收盘价指标的效率高5倍以上（所谓的效率，就是收盘价指标与该指标方差的比率）。

如果价格是连续的，那么Parkinson对于方差的估计指标是无偏的（由于Jensen不等式的存在，转换为波动率估计值时仍是有偏的。）然而，价格的样本值都是离散形式的，市场都是按照离散的单位交易的，同时仅仅在一天中的一部分时间可以交易。这也意味着，那些观察不到的真实价格无法成为我们估计波动率时的最高价和最低价。所以我们通过观察到的范围估计这个指标时，可能会系统性的低估波动率。

Garman and Klass (1980)使用离散的样本数据模拟了不同样本数量下Parkinson指标的低估程度。

附全球资金流向监测：

根据EPFR和沪深港通近期公布的数据（统计范围为2月14日至2月22日），我们总结了近期全球资金流向情况，分析如下：

一、全球跨市场和资产间资金流向：加速流入股市；新兴流入强劲，美股流出趋缓

上周全球资金加速流入全球股市，主要是得益于新兴市场的资金流入明显扩大、同时流出美股市场的资金也大幅减少；欧洲和日本股市依然维持稳健的的资金流入态势。相比之下，上周全球债市再度转为净流入，美国、新兴市场和日本债市均转为净流入，发达欧洲的流出规模也较2月14日那一周明显减少。具体来看：

■全球股市资金流入规模扩大；新兴流入强劲，美股流出趋缓。新兴市场呈现加速流入迹象，上周流入51.1亿美元，显著高于之前一周的2.7亿美元；日本股市上周资金流入规模也小幅扩大；不过，发达欧洲股市上周资金流入规模不及之前周（上周流入47.2亿美元vs.之前一周61.9亿美元）。此外，上周资金虽依然流出美股市场，但规模较之前一周进一步明显趋缓（上周仅流出14.7亿美元vs.之前周流出57.1亿美元）。整体来看，得益于新兴、日本的强劲流入态势延续，以及美股市场流出规模缩小，上周全球股市共流入120.1亿美元，规模明显高于之前一周的42.8亿美元。

■资金再度回流全球债市。之前一周经历大幅流出的美债市场上周转为流入35.7亿美元（vs.之前周流出85.2亿美元）；全球资金本周也转为流入新兴市场（上周流入16.5亿美元vs.之前一周流出28.8亿美元）；日本债市上周流入1.3亿美元，也好于之前一周流出1.8亿美元的情况；发达欧洲债市上周仅小幅流出1.5亿美元，流出规模明显小于前一周的17.4亿美元。整体来看，得益于美国、新兴市场和日本债市上周转为净流入，以及发达欧洲债市资金流出放缓，本周全球债市再度转为流入52亿美元，显著好于之前一周大幅流出133亿美元的情况。

二、中国市场资金流向：海外资金加速流入

■资金再度转为流入中国市场股票型基金（包括A、H股和红筹股），上周流入15.4亿美元（vs.之前一周流出1.5亿美元）；流入追踪香港本地市场基金的资金规模较之前一周也有所扩大（上周2.4亿美元vs.之前一周5669万美元）。合计来看，上周中/港股票型基金共净流入17.8亿美元，明显好于之前一周流出9491万美元的情况。

进一步剔除掉内地基金后，我们发现，上周海外资金加速流入港股市场。具体而言，上周追踪中国市场的基金中，EPFR统计范围内的中国内地基金仅流入42万美元（vs.之前一周流出1.4亿美元）。因此，剔除上述内地基金后，上周流入港股市场基金的海外资金规模约为17.8亿美元，与之前一周仅4522万美元的流入规模相比显著扩大。

■此外，上周资金仅小幅流出香港离岸上市的追踪A股市场的ETF基金。截至2月22日，追踪A股的ETF共流出390万美元，流出规模明显小于之前一周的6.1亿美元。

三、沪深港通资金流向与持股比例：节后南北向交易强劲

■春节过后，互联互通南北向交易均从2月22日起开市，故本周港股通和陆股通交易的统计范围仅22日一天。从22日的资金流向数据来看，节后南向交易强劲，沪港通净流入35亿港币，深港通流入21.3亿港币。合计来看，2月22日南向资金共净流入56.3亿港币，明显好于节前一周（2月5日~9日）日均29.9亿港币的流入规模。

■伴随着市场企稳，节后北向交易也较为强劲。2月22日，沪股通净买入10.5亿人民币，深股通净流入13.2亿人民币。加总来看，22日北向资金净流入23.7亿人民币，同样好于节前（2月12~14日）日均流出3.3亿人民币的情况。