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本文中的案例及内容来自于佛吉尼亚大学Darden商学院教授Robert M. Conroy的文章《valuation of “plain vanilla”interest rate swaps》。
一笔典型的利率互换交易通常是这样：先是某企业发行一笔3年期浮动利率计息的债务工具——贷款或债券，利率水平为Libor+75个基点，贷款结构如下：
但由于各个计息期的Libor会发生变动，而该企业想消除这种负债成本的不确定性，因此准备将这笔浮动利率计息的负债转换成固定利率计息的负债。 该企业可以与一个第三方叙做一笔利率互换交易，向第三方支付固定利率计息的现金流而从第三方收到以这笔3年期债务工具的Libor为基准计算出来的浮动利率现金流。企业用这笔从第三方收到的浮动利率现金流支付债务工具项下浮动利率利息成本中的Libor部分，交易结构如下：
交易完成后，企业的实际债务成本就变成了一笔利率互换项下支付的固定利率加上75个基点。本文的目的是探讨一下利率互换交易是如何定价的，以及利率互换交易中的固定利率部分是如何确定的。 问题的由来 利率互换的形式俗称为“plain vanilla”即最普通形式的利率互换，即浮动利率现金流与固定利率现金流之间的交换，固定利率的报价方法是在同期限美国国债收益率的基础上加上一个点差。 下面是美元利率互换利率的报价表，该报价表中浮动利率基准用的是6个月Libor，现金流收付频率为每六个月一次，如果利率互换期限为2年期，固定利率收入方收到的是6.06%的固定利率，见红线标注部分。
下图为根据该报价表的报价一笔利率互换的示意图。
其中浮动端的利率水平为6个月Libor，浮动利率现金流和固定利率现金流均为每6个月支付一次。该图显示的是一笔2年期利率互换交易，交易员从固定利率的支付方B收到6.09%的固定利率并向B支付6个月的Libor；交易员向固定利率的收入方A支付6.06%的固定利率并从A处收到6个月的Libor。可见，交易员收到的是6.09%的固定利率，支付的却是6.06%的固定利率，其中3个基点就是交易员在这笔利率互换交易中的差价收益。 利率互换中的所有相关日期均在交易叙做时得到约定，利率互换交易初始时不发生本金的互换，因此浮动利率现金流和固定利率现金流金额均基于名义本金计算出来。 为计算方便，利率互换的名义本金设为1亿美元，交易日定为1995年6月17日。利率互换的期限为2年，以3个月Libor为浮动利率的基准。每3个月会发生如下的利息现金流的收付：固定利率的收入方将收到根据1亿美元本金和6.06%的固定利率计算出来的固定利率现金流100,000,000*6.06%*3/12=1,515,000，浮动利率的收入方收到的是按照利率互换交易日起息的Libor计算出来的现金流，现金流的收付日同时也是作为未来3个月后浮动利率现金流计算基准的Libor的生效日。 现金流收付情况如下：
互换利率也就是利率互换交易中固定利率的报价方式为同期限的美国国债收益率加点差。例如，6.06%的互换利率报价等于2年期的美国国债收益5.91%+15个基点。利率互换交易的定价本质上就是确定今天的固定利率的水平以保证浮动利率现金流的现值与固定利率现金流的现值相等。 示例 与其他大多数衍生品一样，利率互换的定价也是基于无套利原则。假设一笔3年期的浮动利率债券，面额为5000万美元，票息为3个月Libor。由于Libor的水平波动很大，债券持有人的目的是想在未来3年里消除利率波动的风险。每年的利率收付日期为3、6、9、12月份的17日，每3个月计息期的利息金额等于票面金额5000万美元乘以该计息期初始日期生效的3个月Libor。因此，如果第一个计息期的起始日为6月17日，适用的3个月Libor等于5.75%，那么本计息期的利息收付金额为50,000,000*5.75%/4=50,000,000*1.4375%=718,875，实际收付日期为9月17日。 欧洲美元期货 欧洲美元期货合约可被用于锁定远期Libor的利率水平，下表为1995年6月17日的欧洲美元期货合约报价： 欧洲美元期货以90天欧洲美元存款为标的资产，而90天欧洲美元存款的利率基准为3个月Libor。90天的报价所隐含的3个月Libor的利率水平=100-欧洲美元期货合约，如上表中，1995年9月份交割的欧洲美元期货合约的交割价为94.26，那么该报价所隐含的3个月Libor的利率水平=100-94.26=5.74%，意味着1995年9月17日开始计息的90天期限的欧洲美元存款将获得5.74%/4=1.435%的利息收益。 再比如，1996年9月欧洲美元期货合约的交割价为94.02，该合约所隐含的3个月Libor的利率水平=100-94.02=5.98%，即1996年9月17日开始计息至1996年12月17日的90天欧洲美元存款将获得5.98%/4=1.495%的利息收益。 用欧洲美元期货合约对冲Libor利率的波动风险 回到前面的案例，3年期的浮动利率债券，面额为5000万美元，票息为3个月Libor，可借助欧洲美元期货合约对冲Libor利率的上升风险，办法是做空欧洲美元期货合约。假设做空50张，总金额为5000万美元的欧洲美元期货合约来对冲在1996年12月17日起息的3个月Libor在 9月17日至12月17日期间波动的风险。 如果1996年12月17日起息的3个月Libor水平升至6.25%，那么在1996年12月17日每张做空的欧洲美元期货合约可实现盈利 1,000,000*（6.25%-5.98%）=1,000,000*0.0675%=675，50张合约合计获利50*675=33,750。 美元债券的付息成本为50,000,000*6.25%*3/12=781,250，减去做空欧洲美元期货合约获利的33,750，实际负债成本为781,250-33,750=747,500。 如果1996年12月17日起息的3个月Libor水平降至5.25%，美元债券的付息成本为50,000,000*5.25%*3/12=656,250，做空50手欧洲美元期货合约产生的亏损为50,000,000*（5.25%-5.98%）*3/12=91,250，该公司的实际负债成本为656,250+91,250=747,500，还是等于做空欧洲美元期货合约时锁定的5.98%。 下图显示的是1995年9月至1998年6月欧洲美元期货合约的报价：
以该报价为基础，计算1995年6月至1998年6月期间各计息期的付息现金流，计算公式为50,000,000*适用于该计息期的3个月远期Libor*3/12 其中1995年6月为起息初始日，当日计息的3个月Libor水平设定为5.5%，该计息期为1995年6月至1995年9月，利息金额=50,000,000*5.50*3/12=687,500，以此类推其他各计息期的利息金额如下：
上表显示的是，按照今天的欧洲美元期货合约的报价，今天可以锁定的未来各计息日的3个月Libor利率水平及利息现金流的金额。 通过欧洲美元期货合约的报价推导即期利率的水平 上一步骤显示，根据未来各计息日的3个月Libor利率水平计算出来的浮动利率现金流贴现后应该与各计息期的固定利率现金流的现值相等。 下面来计算Libor利率现金流的贴现值。前提是先确定各计息期的贴现利率，也就是用于贴现该期限现金流的即期利率。即期利率水平可直接从欧洲美元期货合约报价隐含的远期Libor利率水平推算出来。已知第一个计息期的3个月Libor为5.50%，远期3个月Libor的报价整理如下：
根据以上的报价，依次计算每个计息期的即期3个月Libor，由于1995年6月至1995年9月的第一个计息期的3个月Libor为5.50%，1995年9月至1995年12月的第二个计息期的3个月远期Libor为5.74%，因此1995年6月至1995年12月的6个月期限的即期利率={[（1+5.50%/4）*（1+5.74%/4）]^(1/2)-1}*4=5.62%，同理计算出各累计计息月份的即期利率，见下表：
利率互换的定价 浮动端的各计息期即期利率确定后，即可贴现各期现金流的现值。计算公式为该计息期的利息金额/（(1+适用于该计息期的年化即期利率/4)^(累计计息月份/3)），以第二计息期为例，该计息期的现金流为717,500，即期利率为5.62%，累计计息月份为6个月，因此根据该公式可计算出本计息期利息金额的现值=717,500/((1+0.0562/4)^(6/3))=697,755.40，以此类推计算各期贴现值： 各期现值合计为8,251,448.28，按照无套利空间的定价原则，按照固定的互换利率计算出来的各期固定利率现金流贴现后的现值合计金额也应该等于8,251,448.28，见下表所示，但由于此时固定利率尚未得出。
为计算固定利率的结果，可以使用Excel中的规划求解功能，先假设固定利率为6%，据此计算出各计息期的现金流。从下表可见，按照6%的互换利率计算，各期利息现金流的现值合计为8,197,524.80，而能够得出现值为8,251,448.28的利率就是互换利率。
打开excel的“工具”栏的“规划求解”功能 打开后会出现以下画面，在“设置目标单元格”处选择8,197,524.80所在的单元格G32，在“等于值”处输入希望得出的现值金额8,251,448.28，可变单元格选择固定利率即互换利率所在的单元格H20至H31，然后点击求解。
计算结果为6.04%，意味着只有在互换利率为6.04%的情况下，这笔期限为3年，浮动利率为3个月Libor的利率互换交易的现值为8,251,448.28
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