简单推导期权定价模型

知乎文章不晓得怎么添加目录，懂的请私信我。
前言：
这篇文章的目的不是把期权定价模型推导一遍，而是大致地解释期权定价模型的一些基本思路（毕竟我也只是一知半解，没完全吃透）。并且对其中的一些问题进行简单地讨论。在介绍基本思路的过程中，我会引用网上一些公开的（在搜索引擎就能找到的）教学材料。感谢教学材料的分享者。由于有重复引用，因此引用资料放在文章最下面，文章里就简单引用一下，毕竟知乎文章和学术论文有差别。
正文：
期权定价模型是金融学里面的一个伟大的发现。建立定价模型的是三位经济学家：Fischer Black，Myron Scholes和Robert Merton。其中Scholes和Merton获得了1997年的诺贝尔经济学奖（很遗憾，Black 1995年去世，要不然他也有）。而期权定价模型里的复杂度以及推导的严谨令作者大受震撼。
期权定价模型的大致推导思路是先假设有那么一个金融资产标的，其价格服从几何布朗运动过程。如果这个金融资产标的存在一个基于标的价格的衍生品，那么金融资产衍生品符合一条描述标的随机过程和衍生品关系的公式。如果再假设存在一个局部不受价格影响的，由标的和衍生品组成一个资产组合，且投资到这个组合存在某种时间成本，那么将会得到Black-Scholes方程，一条二阶偏微分方程。通过解析这条二阶偏微分方程，最终得出Black-Scholes-Merton期权定价模型。
0 几何布朗运动
有效市场假说成立，因此标的价格的变化应该是完全随机的，并且随机性是独立于时间的。这里假设随机性服从正态分布。这一点很重要，因为正态分布的特性才能得出期权定价模型里标志性的正态分布函数。
标的价格不可能下降到0，由于很多时候投资者是按照仓位的百分比来配置金融资产，收益将会是按照百分比涨跌计算，因此标的将按照几何布朗运动。

这里，S是标的价格，t是时间，μ是&#34;drift&#34;，也就是标的价格随着时间上涨的趋势。dZ是每一步的随机性（也就是市场的不确定性）。σ是不确定性的大小，姑且称为标准差。由于是布朗运动，dZ的随机性可以这样描述：

1 衍生品和标的的关系
假设有一个S的衍生品c，那么c将会是一个S的函数。更一般的，c也是一个t的函数。因此泰勒展开后：

把dS带入，则：

这里忽略了比dt更高阶的项，因为更高阶的项在大数定律下（求极限后）收敛的比dt还快，而BS定价方程只要求到dt的阶就够了。上面说，这个资产组合是有时间成本的，那么定价方程其中一边的阶是dt，因此另外一边的阶到dt就够了。因此，dS的平方里面，dt平方肯定比dt更高阶，dtdZ也比dt更高阶，最后只剩下dZ平方。因此：

但dZ平方是什么呢？答案是等于dt，因此保留这一项。dZ平方可以按照离散的方法，然后取极限求出。假设目前的时间是t=0，在t=T的时候衍生品到期。中间可以分为n个时期：

大概的意思就是把这个时间期限离散化。定义：

如果求均数，按照大数定律，则：

2阶收敛是因为Z(t(i+1))-Z(t(i))是独立且正态分布的。等号成立是因为平方是正态分布的方差。但从这里实际上还没能得到dZ平方=dt。因为缺了极限。我查了网上的资料，都没有详细介绍，只有大致地说跟大数定律有关。但是我认为，这里背后还有几何布朗运动逐点独立性有关，在空间计量学里，称为increasing asymptotics，如果存在弱相关性，是不可能收敛的（注意是不可能收敛，而不是收敛至另外一个实数上面）。
由于独立性，因此取极限的时候：

这里还会有一些连续性的处理（严谨的论述：for every ε there exists N, when n>N, inequality holds），不是特别重要。当n趋于无穷时，这些细小的差异将会收敛至0。而最有意思的是，只有当n趋于无穷时：

才会是一个non-stochastic的等号。
Anyways，这么一番推导下来，则：

这就是著名的伊藤引理。这条引理描述了衍生品的过程，也是一个布朗运动（with drift）。括号内的那部分是drift，布朗运动的&#34;方差&#34;则是外面dZ的那部分。
最后值得一提的是，微分方程的由于涉及到随机过程微积分，因此需要证明过程存在解析解，也就是微分方程的积分存在。但微分方程会涉及到一个关于dZ的微分，但是dZ是一个随机变量，不可微分。因此伊藤推导的过程中用到离散化，且在收敛的条件下证明积分存在且唯一。这个在[1]里面会有提到，在[2]的第6章（且被[1]引用了）证明收敛。涉及到比较深的概率论，我没办法理解，因此具体的证明恕我无法解释。
但可以从这个例子里看出区别：

如果Z是连续的，那么积分自然就是黎曼-斯蒂尔杰斯积分

但由于dZ是随机变量，则需要先离散化，然后再求极限：

而在上述的积分中（类似的积分把Z换成更一般的f，f要求二阶可积和一些相关的条件，具体涉及到概率论，没完全理解，这是伊藤证明的一部分），s选点不同，积分很有可能也不一样，毕竟中间是随机的。因此即使求极限后，不一定存在唯一的积分。伊藤认为，s应该取左边的点t(i)，因为这是站在ex-ante的角度求积分，而在此期间，没有人知道之后点的信息（这个argument也在[2]的第6章提到）。
因此：

在这个情况下，无论怎么求极限，结果都是边界解。第二项上面提到，取极限后等于dt，求和之后等于(T-0)=T。则：

可见和上面的黎曼积分是不一样的。
2 从伊藤引理推导到Black-Scholes方程
参考[2]：
这里用到金融学risk neutrality的概念。假设有一个由标的S和衍生品c的组合Π，risk neutrality代表dΠ=0（为了方便把t下标去掉了，这里还把μ换成r，表示无风险收益率）：

代入：

这个Δ就是期权的Δ，公式是：

那么：

另外，这个组合Π是存在时间成本的，这个时间成本是无风险的（这里假设是r，在风险中性的假设下，风险资产的长期收益等于无风险收益（宏观理论认为这实际上是不可能的，因为风险是存在溢价的，但为了简便，这里就这么处理））。

带入Π：

去掉dt后：

假设c对S二次连续可导，对t一次连续可导。上面的式子就是著名的BS公式。
值得一提的是，这里还并没有引入&#34;期权&#34;这个概念。到这里都只是在讨论一般衍生品。因此BS公式可以应用到期货/互换期这类的衍生品。这是一个二次微分函数。并且这是一个确定的函数，不存在随机过程微分，这是因为不确定性在Δ的选择上对冲掉了。
这个对冲在期权策略里面就是delta hedging。一般没啥用（没事干为啥建立这么一个不赚钱也不亏钱的组合，总觉得有点吃饱了撑的）。不过，delta hedging只是在小范围波动的情况下有效，在大范围的波动下，Γ，也就是二次微分，会跳出来教你做人。不过不要忘了，这上面的Δ也是一个对时间的函数，时间在变化，c对S的一次导数也会变化。除非不断调仓。
3 收益（Payoff）期望值贴现
这里引入期权的概念，在到期日，认购期权方可以选择是否行权，也就是是否选择交割标的。交割标的和现金交割的价值是一样的，都是到期日标的价格和行权价之间的区别。以看涨期权为例，如果标的价格高于行权价，那么认购方肯定选择交割，收益是S-K，但如果标的价格低于行权价，则不选择交割，收益是0。由于公平交易，到期日的收益和期权的价格是一样的，那么看涨期权到期日的价格可以表示为：

参考[2]，在不解方程的情况下，期权的定价模型可以理解成未来payoff的期望值（基于给定的信息）：

严谨一点，这里S有T的下标，表示到期日的价格，并且期望值是对过去已知信息计算的期望。在Black-Scholes定价模型中，给不给定过去的信息不重要（唯一重要的就是S，还有就是已知的σ和μ），因为S背后的过程是Martingale（未来的期望值实际上就等于现在的payoff）（c背后的过程也是Martingale（参考[1]），这个不重要，重要的是定价）。
如果要得出定价模型，就必须要知道分布（以及可不可积（一般都是可积的，因为期权价格都是有限的，这才符合经济规律））。而价格服从对数正态分布，具体如下：

问题是，为什么价格必须服从这个分布？可以理解序列的方差随着时间增大而增大。但这个分布的&#34;无风险利润&#34;非常反直觉，无风险利润不是r吗？为什么多出来一个方差项？
这是由于对数正态分布的原因：

方差项是琴生不等式的调整项。
上述对数正态分布的概率分布函数是：

因此：

可以拆成两部分来计算，一部分是I1，就是xdF(x)（标的期望）部分。另一部分是I2，也就是KdF(x)（行权价期望）部分。第二部分比较简单，使用代入法：

即可得出：

Φ是正态累积分布函数。第一部分的话，使用的代入公式是：

这是由于积分里面多了个x，刚好和分母的x消掉：

但使用代入法时多出来一个x。

如果使用u带入，则这个x是无法消除的。但使用v的话，一通操作下来，将会变成：

这么下来，x刚好抵消掉，得：

因此：

即得到Black Scholes Merton期权定价模型。
不过，本来S是对数正态分布，到了期权这里，就是普通的正态分布了，是不是很奇怪？不过这个即使解微分方程后也没办法给出解释。如果解微分方程的话，背后的机制是傅里叶变换，下面会提到。
4 Black-Scholes方程简化成热传导方程
上面的推导中，始终有一个问题无法解释得通。究竟为什么背后的分布是log-Normal？别的分布不可以吗？我在学习期权定价模型的时候，就像是一下子把这个分布砸到我头上一样。实际上，这个分布，是BS方程推导出来的结果。而BS方程背后是几何布朗运动的结果。这里看看为什么。
我们需要把二次微分方程简化成：

这条方程叫做热传导方程，原来是为了解决物理里面的材料导热问题。这条方程居然可以创新性地解期权定价模型。给定初始条件f(x, 0)后，如果符合一定的界限条件，则存在稳定解。BS方程可以通过(一元二次方程简化得到上面的方程)。
感兴趣的朋友可以打开参考[4]的附录A，自己推导一遍（能够深入理解推导过程）。首先把S和t写成：

那么：

然后求c对S和t的偏微分形式（用链式法则，下标代表求偏微分）：

BS方程可以改写成：

这里还需要进一步简化，把右手边单个二次微分函数。继续代入。假设存在两个参数α，β可以让函数改写成：

不难发现：

代入上面的方程时，如果选择（by completing the squares）：

那么上述方程可以简化为热传导方程。其中：

而到期日收益（也就是热传导函数的边界条件）是：

热传导方程：

5 热传导方程的解（傅里叶变换）
热传导方程的解有很多，作者也没有完全学过。这里参考[3]，使用傅里叶变换得出热传导方程的解。傅里叶变换的定义是：

这里用z代表频域的变量。参考[3]里面的傅里叶变换使用的常数不一样，但还是可以得出变换和逆变换。解出热传导方程所需要的傅里叶变换特性有两个，一个是多重微分：

这是通过分部积分法得到。由于在上面的伊藤引理证明里面用到如下条件：

这实际上就是θ极限等于0的充分条件。由于n次可导，则导数处处有限且存在。那么导数的极限也等于0，并且可以使用分部积分法。
第二个特性是卷积定理。卷积的定义是：

而傅里叶变的卷积定理是：

这里涉及到一个多重积分的换元：

这里由于连续可导+有界，因此Fubini定理成立，积分符号可以随意变换。多重积分换元需要求雅克布矩阵的行列式：

需要注意，这里的多重积分处理方法和参考[3]里的不太一样。这里的处理方法是根据网上其他资料整理得来。结果是一样的。至于为什么多重积分使用的是雅克布的行列式，我不是很清楚，希望大神能够解答一下。
换元之后：

最后用到一个傅里叶变换：

换元：

积分部分叫做误差函数erf(.)。积分后等于sqrt(π)，根据极坐标换元得出，这里不深入推导。因此：

做了这些准备工作后，就可以解热传导方程了。首先，把两边进行傅里叶变换。应用莱布尼茨积分法则，积分上下界都是0，因此：

右手边根据微分性质：

右手边可以分为两个函数：

根据卷积定理：

因此：

θ(x,0)就是到期时的收益，也叫边界调节。由于热传当方程的解涉及到积分，因此需要讨论初始条件的性质，才能得出可积的结论。这里参考[2]有讨论到。不过我也没看太懂。反正期权这个特殊例子是可积的就够了。
6 得到定价模型
参考[4]里的附录B，有从热传导方程推导到定价模型的全部过程。首先，由于θ边界条件的max，只有当y≥0时才成立。因此热传导方程可以改写成：

括号里面可以拆成两部分。分别换元，把积分里面变成正态分布的累积分布函数。涉及到如下的换元，拿I1为例：

括号内就是我们熟悉的Φ(d1)。I2部分则需要把u的(k+1)部分换成(k-1)。而积分内部则是Φ(d2)

接下来要从θ换到v部分，其中的一个区别在于exp(.)部分。I1部分：

I2部分：

上面d1和d2还不是定价模型里的d1和d2，需要换元。

d1和d2部分，和exp部分一起，把x，k，τ换回原来的元：

最后，从v换回c，需要再乘以行权价K。因此：

即得出BSM期权定价模型。看跌期权使用类似的推导过程，只不过：

因此得出：

读者朋友可以自行推导。
但可以看出，使用热传导方程推导，相比使用启发式(heuristic)的期望值推导，更加严谨，并且没有太大的推导空隙。期望值推导似乎就是从另一个思路出发，和BS方程没有太大的关系。
需要注意的是，热传导方程并不是唯一的一种推导方法。但这里仅展示了热传导方程的细节。
7 问题讨论：如果背后的过程不是正态分布，定价模型中的Φ是否会不同？
提出这个问题是因为，从BS方程到BSM期权定价模型，似乎没有用到任何正态分布的假设。但BS方程仅仅是一条描述衍生品和标的之间的关系，似乎也并没有涉及到正态分布的假设。那如果分布不一样，是不是也会得到Φ？
首先可以肯定的是，只要BS方程成立，那就一定会得到基于正态分布的BSM期权定价公式。因为BSM期权定价公式仅仅是BS方程的解。那么BS方程就已经隐含了正态分布。
而BS方程是从伊藤引理推导过来的。实际上，由于伊藤引理本来就隐含着几何布朗运动（对数正态分布）假设，因此BS方程也隐含着几何正态分布假设。而在推导伊藤引理的方程时就不止一次地用到几何布朗运动过程，以及分布的矩的假设。因此，由于伊藤引理的存在，任何基于伊藤引理所推导出来的衍生品都是根据正态分布计算期望的。
那如果背后的过程不是几何布朗运动，而是其他的分布怎么办？难道我们需要重新从伊藤引理开始推导？实际上，上面已经揭示了另外一种计算方法，那就是计算期望值。本来几何布朗运动过程（对数正态分布）+独立性的假设就很牵强，如果有效市场假说失效呢？如果标的资产背后的高阶矩不存在呢？那么这里就给了投资者一个speculate分布的选择。
但要是如此，严谨地从随机过程推导到伊藤引理，再建立BS方程，再解BS方程会非常难。简化后的偏微分方程甚至不一定是热传导方程。或许其他的解方程的方式可以解决这个问题。
但一般市场上最主流的定价方法，还是根据现有的定价模型，然后套用不同的波动率模型计算（比如ARCH类）。根据市场价格反推出来的波动率叫做隐含波动率。利用隐含波动率和speculate的波动率之差建立期权组合来盈利。不过这是后话了。
总的来说，期权定价模型集合了经济学原理、随机过程，时间序列计量，傅里叶变换，偏微分方程和统计学的知识。不愧是获得了诺贝尔奖的研究。
参考资料：
（这些都是从搜索引擎中搜索出来的公开Access的材料，非常感谢链接分享者）
[1]
[2]
[3]
[4]

期权匿名回答 · 2021-11-16 09:19:51

用心了[大笑]

简单推导期权定价模型

1 个回复