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假设一个汽车经销商在你买车的时候给你提供了两种方案。一个方案是18000美元全款，另一个方案每月375美元，5年付清。你想知道经销商每月向你收取的实际利率是多少。为了回答这个问题，你需要求解下面这个方程（由“现值”公式得到。啥是“现值”？见文末）
那么，你该如何解答这个方程呢？
对于一元二次方程，我们有熟悉的求解公式，三次和四次方程也有求解公式，不过非常复杂。对于5阶及以上的多项式函数
![]() ,却没有这样的求解公式。同样地，也找不到像
![]() 这样的超越方程的精确根。
对于上述60次方的方程，可以通过画出方程等号左边的图像找到近似解。通过比较高级的电脑软件（有些软件干不了这活儿）绘图可得下图
我们看到，方程的解除了
![]() 之外，还有一个解在0.007和0.008之间。放大后显示，这个根大约是0.0076。如果我们需要更高的精确度，我们可以逐步放大，但这会变得很烦人。另一种更快的方法是使用计算机代数系统用数值方法解这个方程。我们会发现根可以准确到小数点后9位，是0.007628603。
这些装置是如何解这个方程的呢？它们使用了各种各样的方法，但大多数都使用了牛顿法，也称为牛顿-拉弗森法（Newton-Raphson method）。我们将解释这个方法是如何在计算器或计算机中干了什么。另外，这也是作为线性逼近思想的一个应用。
如下图所示，我们要解一个形如
![]() 的方程，它的根对应于
![]() 图像的
![]() 截距。我们把所求的根记为
![]() 。我们首先从第一个近似值
![]() 开始，在
![]() 处作曲线的切线
![]() ,该切线的
![]() 截距标记为
![]() 。
牛顿-拉弗森法背后的思想是，由于切线接近曲线，所以它的
![]() 截距即
![]() ，接近曲线的
![]() 截距
![]() ；而切线是一条直线，它
![]() 截距比较容易找到。
为了得到关于
![]() 的过点
![]() 的方程，我们利用
![]() 是切线这一信息，即得
![]() 那么对
![]() 的截距
![]() 来说，就一定有
![]() 如果导数不为零，那么
这样就得到了
![]() 的第二个近似值
![]() 。
如果继续重复上述过程，我们将会得到一系列的近似值
![]() 如下图所示
一般地，如果第
![]() 个近似是
![]() ，且
![]() ，那么它的下一个近似就是
![]() 如果随着
![]() 变大，
![]() 越来越靠近
![]() ，这时我们称这个数列收敛于
![]() ，并记作
要注意的是，有些情况牛顿-拉弗森法依赖于一个恰当的初始值
![]() ，如果初始值选择不恰当，可能造成近似值数列不收敛。甚至有些函数根本就无法使用牛顿-拉弗森法。如下图所示
例 从
![]() 开始，找到方程
![]() 的根的第三个近似
![]() 。
解答 令
![]() ，则
为什么要将初始近似值定为
![]() 呢？因为经过一些尝试计算发现
![]() ，相对来说，
![]() 比较接近方程的根。
这时就有
![]() 当
![]() 时，
![]() 当
![]() 时，有
![]() 因此，第三个近似值为
![]() ，且精确到了小数点后4位。
例 利用牛顿法求
![]() 精确到小数点后8位的结果。
解答 本题其实可以看成是求下列方程的根
![]() 所以，我们令
![]() ，这时
![]() ，则有
如果选择初始近似值为
![]() ，则有
![]() 可以看出，
![]() 和
![]() 的结果在前8位是相同的，所以本题结果为
例 寻找符号方程
![]() 的精确到六位小数的根。
解答 将方程写为如下函数形式，即求函数等于0的解。
![]() 它一阶导数为
![]() 由牛顿-拉弗森法得
为了寻找一个合适的
![]() ，我们分别画出
![]() 和
![]() 的函数图像，如下图所示。
图中表明，余弦曲线和倾斜直线的交点的横坐标仅比1小一点，所以我们可以令第一个近似为
![]() 。这样就有
由于
![]() 和
![]() 在前六位小数上相同（其实是前八位小数），我们方程精确到6为小数的根为0.739085。
除了通过画两函数的草图来找牛顿法的第一个近似值之外，我们还可以通过作图软件得到更精确的图像，如下图所示。
此时发现交点在
![]() 附近，我们把它作为第一个近似值，再次利用牛顿法可得：
![]() 由此可知，所以我们得到了和之前一样的答案，但是却少了一步。也就是说，初始值的选择不同，各近似值也会有不同，但是精度越来越高之后，符合要求的解会越来越一致。
专栏链接：
Mr.Xiong：专栏目录-《微积分学习之旅》zhuanlan.zhihu.com
Mr.Xiong：A-00 微积分学习再出发（一点说明）zhuanlan.zhihu.com
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