学习笔记|理论即期利率曲线及“步步为营法（Bootstrapping）”

国债的理论即期利率代表了应该用于为无违约风险现金流估值的一系列合适的利率水平
无违约风险的理论即期利率曲线可以从观察到的国债收益率曲线来构建。
有很多构建方法
今天介绍的构建方法称为“步步为营法（bootstrapping）”

由于最新发行的国债没有信用风险也没有流动性风险
所以Bootstrapping计算理论即期利率的方法是从最新发行的国债的收益率出发，步步为营，来计算各期限的理论即期利率。

一、补充国债收益率曲线

国债收益率曲线描述的是不同期限的国债的收益率与对应的剩余期限的关系
最新发行的不同期限的国债的收益率与其对应的期限在坐标系中构成一个点，将这些点连起来，就组成了国债收益率曲线。

但是存在一个现实问题
现实中，没有足够多的数据来组成国债收益率曲线。
因为政府并不发行所有年限的国债，因此有些年限的国债的收益率不能直接观察到
所以有些年限的收益率需要使用估计方法来估计
最简单的，也是最常用的方法是简单直线插入法

直线插入法是用相邻年限的收益率计算缺失年限国债的收益率

计算原理是将相邻较低年限国债和较高年限国债的收益率之差在年份差距之间均摊，计算年均收益率差，然后将应分摊的年均收益率差加到较低年限国债的收益率上，即得到下一个年限国债收益率。

年均收益率差=（较高年限国债的收益率-较低年限的国债收益率）/较低年限和较高年限之间相差的年数

比如，如果市场上仅发行5年期和10年期的国债
中间的年限的国债在市场上没有，那么就需要利用这5年期和10年期国债的收益率来估计中间缺失的年限的国债的收益率

如果最新发行的5年期国债的收益率为3.25%
最新发行的10年期国债的收益率为4.35%
用这两个国债的收益率如何计算其他年限国债的收益率？

第一步
计算年均收益率差

年均收益率差=（4.35%-3.25%）/5=0.22%

那么
6年期国债收益率=3.25%+0.22%=3.47%
7年期国债收益率=3.47%+0.22%=3.69%
8年期国债收益率=3.69%+0.22%=3.91%
9年期国债收益率=3.91%+0.22%=4.13%

如果不用将缺失年限国债收益率都计算出来，想计算缺失的某个年限国债收益率也可以使用以下公示直接计算

缺失年限的国债收益率=最新发行的较低年限国债收益率+（缺失年限与较低年限之间相差的年数）*年均收益率差

如上述例子
如果我们不计算6年期、7年期国债的收益率，而直接计算8年期国债的收益率
8年期国债收益率=3.25%+（8-5）0.22%=3.25%+0.66%=3.91%

当然，这是对缺失年限国债收益率的估计，是个近似值。
当两个实际发行的较低年限和较高年限国债的收益率之间的差额较大时，该方法估计的缺失年限的收益率会存在误导性。

计算出各期限国债的收益率后，
各期限国债的收益率与相应期限的关系称为国债收益率曲线。

平价出售的各期限国债的收益率曲线称为平价收益率曲线。

二、计算理论即期利率

补充完缺失的国债收益率后，构建了国债收益率曲线后，可以使用“步步为营法”来计算理论即期利率曲线

“步步为营法”背后的基本原理就是我们前面介绍的无套利定价方法的原理
也就是附息国债的价值应该等于复制该国债现金流的一系列零息国债的价值。

回想一下，国债的即期利率指的是政府为各期限的零息国债的支付的利率。
因为一年以内（包括一年期）短期国债是零息债券工具，
所以六个月期的国债的年化到期收益率等于六个月期即期利率
一年期国债的年化到期收益率等于一年期即期利率。

如何使用六个月期和一年期零息国债的收益率，也就是国债即期利率，来计算1.5年期零息债券的收益率，既1.5年期即期利率呢？

计算方法称为“步步为营法（Bootstrapping）”，
计算原理和无套利定价原理一样，将现金流剥离，每期现金流相当于相同期限的零息国债，不同期限的现金流使用不同期限的贴现率进行贴现，使得附息国债的价值等于复制该国债现金流的一系列零息国债的价值。

使用相对应期限的即期利率将每期现金流贴现，使得所有现金流现值之和等于该国债的价格。
利用已知的即期利率和国债的利息和价格，计算出最新期限的即期利率

比如
六个月期的年即期利率为3.0%
一年期的年即期利率为3.3%
1.5年期付息国债的价格等于100，票面利率为到期收益率，等于3.5%
（按面值出售的国债的到期收益率等于债券的票面利率）
那么1.5年期的年即期利率是多少呢？

第一步

计算半年期即期利率，
半年期即期利率等于年即期利率除以2

则
第一个半年期即期利率为1.5%（3.0%/2）
第二个半年期即期利率为1.65%（3.3%/2）

第二步

确定各期的现金流

第一个和第二个半年期现金流为1.5年期国债的利息
为：100*3.5%/2=1.75
第三个半年期现金流为1.5年期国债的利息加上面值金额
为：100+1.75=101.75

第三步

求解1.5年期即期利率

使得各期现金流用相对应的即期利率进行贴现，计算现值之和等于债券的价格
由于六个月期的半年即期利率和一年期的半年即期利率和债券价格已知，既可求解出1.5年期的半年即期利率
然后1.5年期年即期利率等于1.5年期的半年即期利率乘以2
该即期利率就是政府发行1.5年期零息国债所愿意支付的理论利率

如此类推，
已知了6个月、一年期和1.5年期的即期利率
和2年期附息国债的票面利率和价格后
可以计算2年期零息国债的利率，即2年期即期利率

无违约风险即期利率的期限结构
也就是各期限的即期利率与相应期限的关系
在坐标系中画成图形，就是理论即期利率曲线

当平价收益率曲线向上倾斜时，理论即期利率曲线位于平价收益率曲线的上方
当平价收益率曲线向下倾斜时，理论即期利率曲线位于平价收益率曲线的下方

中英文对照

theoretical spot rate curve理论即期利率曲线
represent 代表
default-free 无违约风险
construct 建造，构造
bootstrapping “步步为营法”，
sufficient 足够的
treasury bill 短期国债
zero-coupon instrument 零息债券工具
interpolate 插入法
approximation 近似值
par yield curve 平价收益率曲线
arbitrage-free valuation 无套利定价方法
duplicate 复制
upward sloping 向上倾斜
downward sloping 向下倾斜

—————END————
码字不易，且读且珍惜

······有一种支持是点赞·····

aptx48699999999 · 2022-12-24 22:29:06

为什么P=C/(1+r1)+C/(1+r2)^2而不是P=C/(1+r1)+C/[(1+r1)(1+r2)]呢？

学习笔记|理论即期利率曲线及“步步为营法（Bootstrapping）”

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