虽然我不是数学或者金融专业的, 但既然在这个领域工作了, 就开始系统性地学习一下.
这篇文章按我自己的理解整理了John C. Hull的《Options, Futures, and Other Derivatives》相应的章节, 我总觉得书里的风险中性(risk-netural)的章节讲得不清楚, 这里几乎是按我得理解重新写了一遍.
防杠精声明: 如果觉得文章有错漏麻烦指出具体错在哪, 或给出正确的答案解释, 或者相应的引用来源.
Binomial Tree定价
还是在Binomial Tree定价的框架下, 我们看看另一种定价方法.
基本假设还是不变的, 我们假设股票价格是随机游走的(random walk). 从一个时间段的开头到结尾, 股票价格可能上涨, 也可能下跌, 但都是完全随机的.
回顾无套利定价(No arbitrage valuation)
在无套利的假设下, 我们可以通过购买一定量的股票本身, 复现出期权的现金流, 从而算出期权的价格. 这是方法之一.
细节参考之前的文章:
风险中性定价(Risk-neutral valuation)
另一种方法就是风险中性定价(Risk-neutral valuation). 这里我们将会基于这种假设再次算出期权的价格. 在这种定价方式里, 我们假设所有投资者都是风险中性的(risk-neutral).
我就不扯术语来解释风险中性了, 我们来看看例子. 假设我们在玩一个扔硬币的游戏, 玩家可以选择不玩游戏, 这时他有100%的机会拿到100块钱; 假如玩家选择扔硬币, 那么扔到正面(50%机会)可以拿到200块钱, 扔到反面(50%机会)拿到0块钱.
这两种选择的期望收益都是100块钱. 但是在我们现实生活中, 也就是非风险中性投资者的眼里, 显然选择扔硬币的风险比较大, 毕竟不扔就100%拿钱走人, 而且拿到的和期望收益一样. 除非承受了风险能有超额的收益, 理性人应该是不会选择扔硬币的.
但是在风险中性的世界里, 只要期望收益一样, 那么哪种投资方式都没区别.
又因为我们的基本假设, 股票的价格是随机游走的, 所以如果在不考虑无风险利率(risk-free rate)情况下股票价格的期望就是它自己原本的价格, 同样相应期权价格的期望也就是它自己原本的价格.
如果考虑无风险利率, 股票和期权的期望收益都是无风险利率, 也就是说:
把钱存银行的期望收益率 = 买股票的期望收益率 = 买期权的期望收益率
风险中性定价(Risk-neutral valuation)案例
再次回到我们之前用的案例, 取一个时间段3个月. 假设某个股票当前价格(underlying price)是$20. 假设3个月后股票价格有2种可能:
- 股票可能涨到$22, 这时期权价值$1
- 股票可能跌到$18, 这时期权价值$0
我们再定义一些变量名:
时间段: T = 3/12
无风险利率: r = 0.12
初始股价: S_0 = 20
T时间段之后的股价上涨之后的价格: S0 \times u = 22, u = 1.1 , 对应的期权价格: f_u = 1
T时间段之后的股价下跌之后的价格: S0 \times d = 18, d = 0.9 , 对应的期权价格: f_d = 0
股价上涨概率: p
股价下跌概率: 1-p
T时间段之后的股价期望: E(S_T) = p \times S_0 \times u + (1-p) \times S_0 \times d
T时间段之后的期权期望: E(f_T) = p \times f_u + (1-p) \times f_d
我们要算最初的期权价格: f
![]()
再次简化: 不考虑无风险利率(No interest free rate)
如果不考虑无风险利率, T 时间段之后, 也就是3个月之后的股价期望和初始股价完全一样:
T 时间段之后的股价期望和期权期望:
E(S_T) = S_0
E(f_T) = f
带入变量的值我们可以得到:
E(S_T) = p \times S_0 \times u + (1-p) \times S_0 \times d = S_0
p \times 22 + (1-p) \times 18 = 20
p = 0.5
所以在没有无风险利率的情况下, 我们可以看到股票上涨概率和下跌概率都是0.5. 带入到T时间段之后的期权期望:
E(f_T) = p \times f_u + (1-p) \times f_d = 0.5 \times 1 + 0.5 \times 0 = 0.5
因为没有利率嘛, 所以最初的期权的价格就和T时间段之后的期权期望一样了: f = E(f_T) = 0.5
复杂一些: 考虑无风险利率(interest free rate)
如果考虑无风险利率, T 时间段之后, 也就是3个月之后的股价收益期望就会等同于把初始股价的钱存银行后的收益， 期权收益期望也一样, 也就是:
E(S_T) = S_0 \times e ^{rT}
E(f_T) = f \times e ^{rT}
带入变量的值我们可以得到:
E(S_T) = p \times S_0 \times u + (1-p) \times S_0 \times d = S_0 \times e ^{rT}
E(S_T) = p \times 22 + (1-p) \times 18 = 20 \times e ^{0.12 \times 3/12} = 20.61
算出:
p = 0.6523
(这里有没有一些既视感? 和之前的无套利定价里我们整理出来的 p 是不是一样的?)
上涨概率算出来之后, 我们就可以算出 T 时间段后期权的期望了:
E(f_T) = p \times f_u + (1-p) \times f_d = 0.6523 \times 1 + (1-0.6523) \times 0 = 0.6523
反推回最初的期权:
E(f_T) = f \times e ^{rT}
f = E(f_T) \times e^{-rT}
f = 0.6523 \times e^{-0.12 \times 3/12} = 0.633
算出来和用无套利定价方法的结果是一样的.
一阶Binomia模型: 风险中性定价(Risk-neutral pricing)公式
按照上面的例子其实公式就已经出来了, 我们现在整理一下:
T 时间段之后的股价收益期望就会等同于初始股价基于无风险利率的收益, 也就是:
E(S_T) = S_0 \times e ^{rT}
同时 T 时间段后的收益期望是:
E(S_T) = p \times S_0 \times u + (1-p) \times S_0 \times d = S_0 \times e ^{rT}
两个公式里都有 S_0 其实它就可以被消掉了, 我们可以算出股票上涨的概率:
p = \frac{(e^{rT} - d)} {u-d}
(这里有没有一些既视感? 和之前的无套利定价里我们整理出来的 p 是完全一样的)
再回到期权的期望:
E(f_T) = p \times f_u + (1-p) \times f_d
f = E(f_T) \times e^{-rT}
f = (p \times f_u + (1-p) \times f_d) e^{-rT}
我们又整理出和无套利定价得出的同样的结果了:
f = e^{-rT}[p f_u + (1-p) f_d ] \text{ , } p = \frac{(e^{rT} - d)} {u-d} |
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