期权定价模型与影响期权价格的因素

前方低能预警。小编这两天跟几位业界在折腾一个数值方法的期权定价的方案，目的是用于资产证券化的。期间热烈的讨论随机过程和诸如蒙特卡洛模拟之类的高大上的问题。写几篇文章，一方面当作笔记或者总结，另一方面也是小编搞资产证券化融资方法的后续。总得写点什么给各位看官老爷提提神嘛。
先贴个以往的帖子，这赞同和评论真实惨不忍睹。
0，期权价格公式

期权价格的影响因素很多，基本上来说是一个包含资产价格、到期时间、波动率、行权价格、利率、股息的方程。基本上就是个3-2-1的圣诞树，3个率，2个价格，1个时间，决定了一个方程
y = f(x1, x2, x3, x4, x5, x6)教科书上是这么写的
V（S,K,σ,T,t,r）
其中：
V是期权价格
S是标的物价格（服从对数正态分布）
K是行权价格
σ是波动率
T是到期日，t是当前时刻，Δt=T-t
r是无风险利率。由于是一个多元函数，所以用泰勒展式展开成偏导的形式，n个一阶偏到，n2个二阶偏导......

然后就把几个一阶偏导拎出来，做一个定义，就成了所谓的“期权xxxx希腊字母定价法”。

1，行权价格

这里面有一个例外，也就是行权价格。一般来说，首先需要有一个计划，可以具象化为期权合约，形式嘛，随便搜一搜《......公司股票......期权与限制性股票激励计划》里面，都有一个行权价格。他的特殊性在于他是写死在期权合约里面的，所以从一般意义上的计算来看待，他是一个固定的值。但是例外也有例外，董事会也可以调整这个行权价格，这个以后再说，姑且先当他是个固定的值。
2，资产价格（Delta）

Delta衡量的是资产价格变化对期权价格y的影响
期权价格new - 期权价格ini = Delta * （资产价格new - 资产价格ini）比如说在Delta = 0.3的时候，一个行权价格2块钱，期权价格5毛钱，还有半年到期的一个期权。现在市价是1块8，结果涨到了1块9了。那么这个时候期权的理论价格为：
0.5 + 0.3 *（1.900 - 1.800）= 0.53也就是说期权的价格上涨了3分钱。
这个Delta取值范围是（-1，1），一般意义上认为认购期权的Delta是正的，认沽的Delta是负的。这个也比较好理解，毕竟资产价格上涨认购的期权肯定价格上涨，怎么说也是正相关的关系。认沽的vice versa了。
从当前价格来看，期权合约有平值期权(ATM)、虚值期权(OTM)、实值期权(ITM)之分，分别对应买了基本是白买了，真的是又套期又保值了的买了个寂寞型；这么发展下去到期日肯定亏本，买了不如不买，傻子才会执行的亏本形；这么发展下去到期日肯定能赚钱，期权有可能被执行的赚钱型。
所以，这两个维度划分成了6个维度。这里举一个欧式认购期权的例子，为啥用欧式作为例子呢？因为小编可以再水一期区别啊。看官老爷可以看到Delta基本上就是正态分布的累积分布函数，当Delta在0.5左右的时候，属于平值合约，当远超过0.5时是实值期权，当远小于0.5则进入了虚值期权的范围。至于为啥有马赛克嘛......看官老爷往下看就知道了。

3，股息（Gamma）

小编承认这个题目本身是有问题的，因为Gamma不是用来衡量股息的变化对期权价格y的影响的。所以小编就开始了强行解释。
Delta绝对是决定期权价格y的最重要的参数，但是问题是期权价格并不是标的资产的线性函数。为啥是非线性的呢，很简单，因为有股息的存在。显而易见，股息是以资产价格的rate的形式体现的，所以数学建模的时候还是很自然的想到了这玩意应该是资产价格的二次函数。
Delta-new - Delta-ini = Gamma * （资产价格new - 资产价格ini）那么Delta的逻辑意义非常明显，而Gamma的逻辑意义是什么呢？由于Gamma考虑的是Delta的变化，所以基本上是个“加速度”的意思，举个例子来说，比如资产价格在行权价格附近的时候，Gamma是最大的，也就是说在这个位置“速度”是0，但是斜率很大，资产价格的任意微小的变化都会引起期权价格y的大幅变化。
Gamma对于期权价格的变化自然也就是二次方。也正是由于是二次方，所以认购和认沽的区别就没有了，也就是只考虑绝对值的二次方了。
但是即便是加速度，也要考虑踩油门的正加速度和踩刹车的负加速度，这也就跟持仓头寸相结合了，比如在买入期权合约时Gamma是正数，也就是说期权权利方的加速度是正的，而卖出时Gamma是负数，也就是说期权义务方的加速度是负数。
小编把上图马赛克的Gamma还原了，既然Delta长得像是正态分布的累积分布函数，那么对于斜率的Gamma基本上就是个正态分布的密度函数了，所以Gamma是永远为正数的，也就是说对期权买方来说，Gamma值都是正的，空头的Gamma值与多头符号相反，期权处于平值时Gamma最大，随着期权的实值和虚值程度不断增加，则期权的Gamma值不断递减，最终减小为0。

4，波动率（Vega）

波动率就是“隐含”波动率的变化对期权价格的影响。比如小编开了上帝之眼，说一个期权的Vega是0.1，如果说隐含的波动率变化1%，那么期权价格变化0.1块。
至于为什么是隐含，就是在期权定价模型中，波动率是一个最难评估的参数，因为他这玩意是无法用市场可观测的任意一个客观值衡量的。你比如股息因为是rate，所以可以用资产价格的导数来评估，但是波动率是无法被察觉的，甚至与实际的波动情况并没有正相关的关系，也就是说你并不能从价格的变化来判断波动率，同样是价格变化1毛钱，波动率可能很大，也可能很小，所以要体察这个玩意理论上只能开天眼。
但是通过分析，小编仍然能够从Vega中发现一些端倪，也就是既然有波动率，那么肯定有波动，而且波动率肯定是波动的导数，也就是微分形式。所以我们下一步就是确定Vega如何拟合一个分步函数，这个拟合方法决定了Vega到底张什么样子。
根据市场交易中的不同行为，大致可将波动率分为历史波动率v1、隐含波动率v2、预期波动率v3和未来波动率v4这四种。历史波动率可从资产价格的分布函数中采用统计方法获得，有了历史波动率v1，那么我们可以认为预期波动率v3是某个概率函数的数学期望，建模师通过历史数据你和v1，然后计算得到预期波动率v3，而未来波动率v4则是无法通过严谨的数学方法获得，而隐含波动率v2，它可直接从v1推导得出，也就是说v2是经过拟合的v1，这个过程反映所有市场参与者对未来波动率v4所达成的预期，所以隐含波动率v2是一个规律，他来自于v1，并对v4做出预测。
在实务中Vega是来源于隐含波动率v2的，即当隐含波动率v2变动时，期权价格所产生的变化。
期权价格new - 期权价格init = Vega *（波动率new - 波动率init）比如说行权价为2块的看涨期权，6个月以后到期的期权合约价格为5分钱。此时资产价格为1块8，资产的波动率为20%。Vega为0.3，那么如果资产的波动率变为30%，则期权理论价格则是：
0.05+0.3×(0.3-0.2) = 0.08块由于隐含波动率是通过历史波动率拟合出来的，所以并没有一个所谓的分布的密度函数来表示波动率随资产价格变化的概率模型，基本可以说是一事一议，但是Vega还是有一些基本的通用属性使得建模可以向正态分布的方向靠拢：
1，首先来说认购和认沽的Vega是没有区别的，期权的权利方为Vega为正，而义务方Vega为负。这一点倒是跟Gamma是一致的。那么是不是说小编可以理解波动本身是一个分布的累计函数，而Vega相关的波动率是一个相应的概率密度函数。
2，标的物在行权价格附近的时候，Vega最大。这个也跟Gamma是相同的，也就是峰值出现在期权合约价格向平值靠近的时候。
3，期权合约到到期时间的间隔决定了Vega的峰值，时间间隔越长则Vega越大，极端一点今天到期的期权合约，他其实没有波动，那么他的Vega是无限趋近于0的。

5，到期时间（Theta）

Theta度量的是期权的到期时间的变化对期权价格的影响，也就是说随着到期时间的临近期权的价格应该产生一定的变化，而这个变化以Theta为参数。
期权价格new - 期权价格init = Theta * （从init到new所经历的时间）作为一个看涨期权，显而易见的是Theta为负值，也就是说期权的价格将会随着时间的过去（行权日的到来）而不断下跌。但是作为看跌的期权合约，Theta则要复杂一些，一般来说看跌的期权合约的曲线会稍稍高于看涨期权，也就是说当标的物的资产价格很低，远远低于行权价格的时候，看跌合约的Theta是可以大于零的，也就是说随着时间时间的过去，看跌会有一定的“纠偏”把过低的期权价格拽上来，这说明一个效应，说在看跌合约中，如果合约处于实值期权范围内，而且实值的程度非常高的情况下，持有这些看跌合约到期能够按照行权价格出售标的资产，最极端的例子是资产价格很低那么看跌期权合约的收益就会很大，所以持有看跌期权的权利方就会期望时间过得越快越好，过得越快则可以越快的通过行权来锁定最终的收益，所以这个期望在行权的基础上将Theta本身“整体”抬高了一个台阶，相当于这个收益的“门槛”。

6，利率（Rho）

利率这个事情就比较简单了，因为利率本身是可以稳定在一个固定值不动很长时间的，但是也会出现在期权的某个时间突然变化，甚至阶梯式连续变化的情况。当利率真的发生变化的时候，Rho就起了作用。
期权价格new - 期权价格init = Rho *（利率变化）利率本身是用来衡量货币的时间价值的。对于认购期权来说，期权到期的行权需要按照合约规定的行权价格来购买标的资产，在这个时间间隔期间，由于货币本身的时间价值，如果利率上升，说明货币本身的价值上升，则意味着作为货币交换的标的资产支付的现价会下降，对期权持有人有利，期权的价值就会上升，因此认购期权的Rho为正。
反过来，对认沽期权来说，可以理解为用标的资产置换现金，如果利率上升，那么相当于期权交易的获利需要“扣除”通过货币本身的利率的所带来的增值，由于行权价是锁定的，相当于同样的价格，由期权合约带来的收益有一部分“挪给”了货币本身的时间价值，因此认沽期权合约的RHO为负。