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我们先来看一幅图（图1），这是SPX场内期权在2008年10月9日收盘时的volatility surface（Bloomberg function是OVDV）。雷曼破产产生的全球冲击波刚刚开始，当天SPX指数暴跌7.6%，收盘于2003年4月以来的最低点。这张图充满了恐慌，但是又蕴含了一个巨大的机会。我们在本章的最后会回到这张图解释机会在哪里。
图一
我们先回答几个初学者在计算volatility（标准差）的基本问题。
首先，为什么期权里面计算标准差不用在每一项减去mean？答案是如果计算daily return，长期来看大部分资产的daily return的mean接近于0，是否减去影响不大，一般为了简便都不会减去。
其次，为什么期权里面计算vol的animalization factor是16？这里的16来自于对每年的business day总数开根号，每年business day总数在不同的交易所上基本都是250~260天之间，为了方便一般就用256的平方根。我们计算realized vol实际上是business day realized vol，因为能够观测到的daily return都是每个business day到下一个business day的daily return，每年总观测数就是business day总数，而不是365这个calendar day的总数。
我们上一章说到了期权作为非线性的payoff，在Black-Scholes世界里面里面最关键的驱动参数是volatility，或者更准确的说应该是方差variance。根据上一章最后的结论:
【option with delta hedging的最终pnl是可以由路径积分来计算
公式里其中$gamma和%s都和当时的时间t以及当时的股价St有关。】
我们知道了决定最后delta hedging pnl的是关于realized variance与implied variance之差的一个积分。70年经典Black-Scholes模型里面，vol是一个常量。最初使用这个假设也有建模方便的考虑。但是这个假设是否合理呢？如果不合理该如何改进？因为期权价格具有两位维度：到期日、行权价格。那么我们就从这两个方面来考虑vol是否应该是常量。
下图是期权交易员常用的一张图（图2），这张图是SPX realized volatility cone，对应每一个时间长度，本图给出了在观察区间（过去10年）内每个时间长度上realized vol的范围。对应到1个月上面，我们计算过去十年每22个工作日的rolling window的volatility，最高的vol高于80（雷曼危机期间，2008年10-11月），最低低于10。时间长度越长，vol的区间自然的变窄了，因为时间把波动熨平了。我们从这场图上很清晰的看到不同时间长度上（或者说不同到期日），realized vol可以是不同的。 图二
每一个到期日的At-the-money期权的市场价格对应了一个唯一的implied vol，因为期权价格是对未来市场的一个预期，我们可以合理的认为期权的implied vol反映了对未来波动性的一个预期。既然realized vol不是恒定的，那期权的implied vol在不同时间长度上也是可以不同的。
如果在某一到期日的期权在不同strike上的vol是相同的话，根据Black-Scholes模型假设，在这个到期日资产的log return应该是正态分布。这个假设在1987年接受了残酷的考验。
下图是SPX过去40年daily return的柱状图（图3，Bloomberg function HRH）。实线部分是根据mean和volatility画出的正态分布曲线。 图三
Bloomberg善意的提醒我们此分布没有通过正态分布的假设检验，这个分布不是正态分布。实际上此图是一个经典的fat tail distribution，一个金融里的fat tail distribution的基本形态是在mode附近异常尖锐，probability density比正态分布高，mode两侧有个小蛮腰，两端尾部的probability density要远高于正态分布。
图3左侧那个长长的尾巴就是1987年10月19日的黑色星期一，这一天永远的改变了Paul Tudor Jones和Nassim Taleb的命运，两人都在那一天获得了财富自由，同时也永远的改变了期权交易。
在1987年黑色星期一之前，同一到期日不同strike的SPX场内期权implied vol是一样的，也就是我们说的flat skew。这对于现在入行的期权交易员是很难想象的，但如果仔细看历史的话其实是可以理解的。在70年代后期场内期权大规模开始交易到1987年，美股在美国经济走出滞涨的同时走出了一个多年的大牛市。在股灾出现之前，short downside option或者说short downside gamma的人是不会有任何痛苦的（在2008年金融危机之前在亚洲期权市场上也在不同程度上表现出了flat skew）。在黑色星期一那一天short downside put的人出现了巨亏，人们突然意识到flat skew是不现实的，此后典型的vol skew就变成了如下的样子（图4，SPX Jun SQ expiry as of COB Feb 29th 2016），也就是说人们觉得downside put要更贵。 图四 根据implied vol可以倒推出股价在到期日的terminal implied distribution，当前大多数期权fit出来的implied distribution都是fat tail的。
在股票期权术语里面，一般skew被定义为 (90% strike implied vol) – (110% strike implied vol)。如果这个值为正，交易员认为是常态，这样被称作positive skew，如果这个值为负，交易员认为不是常态，就被称作negative skew（出现在少数的大牛股中，比如过去几年的腾讯，图5）。因为不同股价波动率不一样，所以为了有普适性，有时候也把skew定义为(25% delta OTM put vol) – (25% delta OTM call vol)，这个和外汇里面的用法是一致的。 图五 所以Black-Scholes模型里面flat vol这个假设并不合理。但如果每个到期日上不同strike期权价格所得到的implied vol是不同的话，模型还能用么？幸运的是我们根据市场价格推出的vol surface在实际应用中依然能获得优美简洁的解析解。所以现在期权交易员的核心业务就是trade implied vol surface。
这里简单总结一下vol surface的特性：
1）vol在0到正无穷之间，一般认为vol是mean-reverting，即极度平静之后波动性会上升，极度波动之后波动性会下降。
2）ATM vol term structure一般是flat，或者upward sloping（比如市场极度平静，但预期远期市场开始有动作）。Downward sloping的term structure一般出现于危机时期（市场剧烈波动，但预期过一段时间市场趋于缓和）。 3）Downside vol一般会比ATM vol高，upside vol大部分时候比ATM vol低，反映了市场认为大跌时的市场会剧烈波动，上涨时市场会比较温和。 4）每一个到期日两侧尾部的Implied vol会比较高，特别是最近的到期日，因为如果能够股价在近期到达尾部strike，一定是暴涨暴跌。 5）如果在vol surface在某处有spike，可能的原因有特定的event risk，也可能是简单的supply/demand imbalance。图6是FTSE的term structure，我们可以看到因为英国退欧公投，7月份的vol异常的高。 图六 在生成vol surface时，有一些基本的sanity check需要执行，这些基本的基本的check也就是一些基本的arbitrage A) Put-call parity B) Calendar spread arbitrage：同样strike（adjusted by forward）的call，越远期的应该越贵，因为intrinsic value相同，而时间价值更大 C) Call spread arbitrage：同一到期日的call option C(S_0,K,t)价格对于strike应该是单调递减 D) Butterfly aribitrage（图7）：同一到期日任意三个strike组成的butterfly，期权价格永远为正（在Dupire的Local Vol model里，butterfly的价格可以算出implied distribution的probability density） E) No falling variance: 在Black-Scholes世界中，如果我们知道同一个strike上t_1的vol_1，也知道t_2的vol_2，我们可以算出t_1到t_2之间的forward starting vol
根号里面分子这一项永远不小于0 图七
Volatility surface modeling是一项巨大的工程，每年在SSRN上这个topic的paper不计其数。不同的model会对某些特定的option定价产生巨大影响。对具体细节感兴趣的可以参阅参考材料里面的Volatility Surface一书。
我们回到本章开始的那幅图。
在当时的市场情况下，因为市场恐慌和股价的剧烈波动，10月份到期的SPX场内期权的ATM implied vol已经接近80（当时香港国企指数短端ATM vol在日内一度达到了150！），1年以上长期的vol也有一个明显的抬升，ATM vol已经超过了30。作为一个期权交易员（vol trader），你是应该买vol还是卖vol？
如果你说现在的implied vol相对历史分布来说已经非常极端的了，应该卖implied vol，低买高卖不是吗？！你的老板还有risk management的同事一定会说你疯了。因为当时身处2008年这个史无前例的大波动时刻，雷曼已经倒下，美林已经被收购，有传言说下一个完蛋的就会是大摩，感觉全世界都要完蛋了，SPX当时的一个月realized vol已经达到了黑色星期一（20年）以来的最高点，“你不能用后视镜来对未来做出决定了！”。所以很可能的一致决定是不能卖vol。
那么直接买vol如何？10月9日一天spx就动了将近8%，年化波动率是90%+，那么11月份到期（11月21日开盘到期）的SPX ATM vol“只有”60%，好便宜！如果你propose这么一个trade，交易室里面从业10年以上小心谨慎的老交易员一定会说：“这是一个疯狂的价格，现在美国政府已经开始讨论救市，市场随时都有可能bottom out，vol随时会collapse，你要是买在这么高的价格事后一定会后悔的。你这是高买低卖！”之后的周一（10月13日），美股创下历史最大涨幅，implied/realized vol在好几个时刻有走低的趋势，如果你持有到期并连续对冲的话，SPX realized vol是78%，的确赚了不少钱，但是中间却提心吊胆，害怕救市成功（什么阴暗心理！）。
有没有一个risk/reward更好的trade呢？直接做多或者做空outright vol好像都不是一个让人放心的trade。这里其实有一个high conviction的trade。我们看图8的SPX ATM vol term structure，短端非常陡峭，期权交易员能够觉察出forward vol可能有被低估的。当天（10月9日）观测到的11月21日到期的期权ATM vol是57.6%，12月19号到期的期权的ATM vol是50.6%，我们使用前文sanity check E)里面的公式计算出11月21日到12月19号的forward vol仅为37%。37%相对于当时的realized vol来说是极便宜的，但是我们一些理由来说服自己在一个半月后（如果世界还存在的话）市场还会继续在37% vol以上的水平波动。 图八 我当时给我自己的几个理由是 1．回顾过去30年的历史，每当SPX出现20%以上的调整，volatility需要2~5个月才能回到调整前的水平。这次危机从雷曼破产开始计算的话，才刚刚开始一个月不到，而且美国处于选举前夕，政府要短时间内采取极端行动让市场迅速平静是非常难的。所以我们有足够理由相信这次大波动会至少持续到12月中旬。 2．在08年全年，SPX realized vol的中枢在22-24附近，即使我们能在一个半月内回到雷曼破产前的状态，我的downside会是13-15个vol左右，但是以当时的一个月realized vol来看，我的upside可能是30 vol以上。 3．雷曼破产才3周多，整个credit squeeze向实体传导才刚刚开始，很多宏观数据或者微观变化被市场消化还需要1~2个月，一个半月内就能恢复到雷曼破产前的状态有些乐观。 我们持有到期的话，11月21日到12月19日SPX的realized vol接近60%，这就意味着将近20个vol的profit！当然实际上trade执行起来要复杂得多，而且中间有各种mtm pnl noise。这类volatility term structure trade我们在以后的章节会详细介绍。
参考书 Volatility Surface: A Practitioner’s Guide, Jim Gatheral, 2006 Gatheral教授是1983年剑桥理论物理的博士，他应该是Black等人开山创派后街上第一代quant，他的职业生涯横跨东京伦敦纽约，在业界驰骋30年后他在学术界顺利地拿到了tenure过上了幸福的晚年生活。这本书很多做量化的人应该都读过，是volatility modeling里面集大成者，本书总结了到2005年为止所有经典的模型的原理和应用。08年之后vol modeling没有太大的突破，一方面是因为业界产品复杂性在08年之后倒退了很多，旧的模型（最牛逼的stochastic vol+jump）已经能胜任99%以上的工作，没有银行愿意投入开发新的模型；另一方面是新的模型在实用性上和计算速度上都不理想，无法大规模应用。这本书适合quant/hardcore exotic trader/quantitative vol trader深入阅读，书中数学推导比较简略，适合入门者耐心手动推导。Gatheral教授去Baruch之后应该也有开课，可以看看相关讲义是否有新的内容。 Dupire’s Realized Vol Surface model https://www.math.nyu.edu/~benartzi/Slides9.pdf, page 22-24 这个是Local Vol发明者Dupire教授在07年左右提出的一个简易的模型。核心思想是对每个strike/maturity的option的implied vol进行反复迭代计算delta hedging realized pnl along certain path得出一个break-even vol surface。这个模型的缺点是每个path给出一个独特的vol surface，最后进行套利时如何取舍使用哪个stock price return path是一个问题。优点是一条路径就能给出了整个vol surface，而不是一个单一的数，直观易用。Bloomberg上曾有一个BEVL function可以实现这个功能，不知何故去年被decomission了。 Sticky strike volor sticky delta vol? http://www.emanuelderman.com/media/smile-lecture9.pdf Derman的这篇讲义来自于90年代后期一份的GS note。从很早开始关于volatility surface如何跟着股价的变动而演化就是令卖方交易员很头疼的一件事：在没有明显外部shock的情况下，当股价变动时，ATM implied vol是不是恒定的？抑或vol at each strike是恒定的，股价当达哪一个点位时就使用哪一个点位的vol？如果对这种演化机制建模决定了卖方交易员如何对冲自己的风险敞口。这个topic有一些后续的实证研究，基本结论是依市场风格而定…… How I Became a Quant: Insights from 25 of Wall Street’s Elite, Richard D. Lindsey/Barry Schachter, 2007
鉴于第一章文章公式过多，这里有必要用一本故事书对冲一下。这本书是笔者当年在纽约读书时的一盏指路明灯。如果说Derman的自传是一本励志书的话，这本书就是一本择业手册，25个quant/trader/PM的不同路径摆在眼前，您就按照自己的兴趣找一个光明的方向走下去吧。 | 
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